Question

【題目】如圖，P是邊長為1的正方形ABCD對角線AC上一動點（P與A、C不重合），點E在線段BC上，且PE=PB．

（1）求證：①PE=PD；②PE⊥PD；
（2）設AP=x，△PBE的面積為y．
①求出y關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；
②當x取何值時，y取得最大值，并求出這個最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：①過點P作GF∥AB，分別交AD、BC于G、F．如圖所示．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴四邊形ABFG和四邊形GFCD都是矩形，

△AGP和△PFC都是等腰直角三角形．

∴GD=FC=FP，GP=AG=BF，∠PGD=∠PFE=90度．

又∵PB=PE，

∴BF=FE，

∴GP=FE，

∴△EFP≌△PGD（SAS）．

∴PE=PD．

②∴∠1=∠2．

∴∠1+∠3=∠2+∠3=90度．

∴∠DPE=90度．

∴PE⊥PD

（2）

解：①過P作PM⊥AB，可得△AMP為等腰直角三角形，

四邊形PMBF為矩形，可得PM=BF，

∵AP=x，∴PM= x，

∴BF=PM= x，PF=1﹣ x．

∴S△PBE= BE×PF=BFPF= x（1﹣ x）=﹣ x2+ x．

即y=﹣ x2+ x．（0＜x＜ ）．

②y=﹣ x2+ x=﹣ （x﹣ ）2+

∵a=﹣ ＜0，

∴當x= 時，y最大值= ．

【解析】（1）可通過構建全等三角形來求解．過點P作GF∥AB，分別交AD、BC于G、F，那么可通過證三角形GPD和EFP全等來求PD=PE以及PE⊥PD．在直角三角形AGP中，由于∠CAD=45°，因此三角形AGP是等腰直角三角形，那么AG=PG，而PB=PE，PF⊥BE，那么根據等腰三角形三線合一的特點可得出BF=FE=AG=PG，同理可得出兩三角形的另一組對應邊DG，PF相等，因此可得出兩直角三角形全等．可得出PD=PE，∠GDP=∠EPF，而∠GDP+∠GPD=90°，那么可得出∠GPD+∠EPF=90°，由此可得出PD⊥PE．（2）求三角形PBE的面積，就要知道底邊BE和高PF的長，（1）中已得出BF=FE=AG，那么可用AP在等腰直角三角形AGP中求出AG，GP即BF，FE的長，那么就知道了底邊BE的長，而高PF=CD﹣GP，也就可求出PF的長，可根據三角形的面積公式得出x，y的函數關系式．然后可根據函數的性質及自變量的取值范圍求出y的最大值以及對應的x的取值．
【考點精析】通過靈活運用全等三角形的性質，掌握全等三角形的對應邊相等; 全等三角形的對應角相等即可以解答此題．