Question

如圖，函數L₁：y=a（x-2）²+4（x＞0）的圖象頂點為M，過點B（4，0），將圖象繞原點旋轉180°后得到函數L₂的圖象，頂點為N，與x軸交于點A．
（1）分別求出L₁、L₂的函數解析式；
（2）P為拋物線L₁上一動點，連接PO交L₂于Q，連接PN、QN、PM、QM．求：平行四邊形PMQN的面積S與P點橫坐標x（0＜x≤4）間關系式；
（3）求出平行四邊形PMQN的面積S的最大值，及此時P點的坐標．

Answer 1

解：（1）把B（4，0）代入y=a（x-2）²+4得：a=-1，
則拋物線L₁：y=-x²+4x，拋物線L₂：y=x²+4x；

（2）根據P點位置進行分類討論：
（i）若P點在拋物線的BM段（2＜x≤4）時，S_△POM=+-=x²-2x，
則S_{平行四邊形PMQN}=4S_△POM=4x²-8x；
（ii）若P點在拋物線的OM段（0＜x＜2）時，S_△POM=+-=-x²+2x，
則S_{平行四邊形PMQN}=4S_△POM=-4x²+8x；

（3）當2＜x≤4時，y隨x的增大而增大，當x=4時，S最大=32，
當0＜x＜2時，y隨x的增大而減小，當x=1時，S最大=4，
∴當x=4時，S最大=32，此時P點坐標為（4，0）．
分析：（1）因為函數L₁過點B，所以把點B的坐標代入到L₁的解析式中求出a的值即可得到函數L₁的解析式；由圖象繞原點旋轉180°可知函數L₁和函數L₂關于原點對稱，根據對稱的特點即可得到函數L₂的解析式．
（2）由對稱性可知四邊形PNQM為平行四邊形，根據平行四邊形的特點可知平行四邊形的面積等于三角形POM面積的4倍，分別過M和P作x軸的垂線，交x軸分別為C和D點，然后利用梯形MPDC的面積加上三角形MOC的面積減去三角形POD的面積即可表示出三角形POM的面積，即可得到S與x的關系式；同理，可用梯形PDCM的面積加上三角形OPD的面積減去三角形OMC的面積即可表示出三角形OPM的面積，即可得到S與x的關系式；
（3）當2＜x≤4時，y隨x的增大而增大，把x代入到（2）求出的S與x的關系式中即可求出S的最大值；又0＜x＜2時，y隨x的增大而減小，把x=1代入到S與x的關系式中即可求出S的最大值，兩個最大值比較即可得到最大，然后根據此時的x的值即可得到P的坐標．
點評：此題考查學生會利用待定系數法求函數的解析式，考查了分類討論的數學思想，掌握二次函數的增減性，是一道綜合題．