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如圖所示,已知AB為⊙O的直徑,CD是弦,且AB⊥CD于點E.連接AC、OC、BC.
(1)求證:∠ACO=∠BCD;
(2)若EB=8cm,CD=24cm,求⊙O的直徑.

【答案】分析:(1)根據垂徑定理和圓的性質,同弧的圓周角相等,又因為△AOC是等腰三角形,即可求證.
(2)根據勾股定理,求出各邊之間的關系,即可確定半徑.
解答:(1)證明:連接OC,
∵AB為⊙O的直徑,CD是弦,且AB⊥CD于E,
∴CE=ED,.(2分)
∴∠BCD=∠BAC.(3分)
∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA.
∴∠ACO=∠BCD.(5分)

(2)解:設⊙O的半徑為Rcm,則OE=OB-EB=(R-8)cm,
CE=CD=×24=12cm,(6分)
在Rt△CEO中,由勾股定理可得
OC2=OE2+CE2,即R2=(R-8)2+122(8分)
解得R=13,∴2R=2×13=26cm.
答:⊙O的直徑為26cm.(10分)
點評:本題考查垂弦定理、圓心角、圓周角的應用能力.
練習冊系列答案
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精英家教網如圖所示,已知AB為⊙O的直徑,CD是弦,且AB⊥CD,垂足為E.連接AC,OC,BC,若EB=8cm,CD=24cm,則⊙O的直徑為
 
cm.

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如圖所示,已知AB為⊙O的直徑,點P為OA上一點,弦MN過點P,且AP=2,OP=3,MP=2
2
,若OQ⊥MN于點Q,求OQ的長.

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如圖所示,已知AB為⊙O的直徑,C、D是直徑AB同側圓周上兩點,且弧CD=弧BD,過D作DE⊥AC于點E,求證:DE是⊙O的切線.

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如圖所示,已知AB為圓O的直徑,AC為弦,OD∥BC交AC于D,OD=2cm,求BC的長.

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