Question

已知：在四邊形ABCD中，AB=4cm，點E、F、G、H分別按A→B，B→C，C→D，D→A的方向同時出發，以1cm/秒的速度勻速運動，在運動過程中，設四邊形EFGH的面積為S cm²，運動時間為t秒（0≤t≤4）．
（1）當四邊形ABCD為正方形時，如圖1所示，
①求證：四邊形EFGH是正方形；
②在某一時刻，把圖1的四個直角三角形剪下來，拼成如圖所示的正方形A₁B₁C₁D₁，且它的面積為10cm²．求中間正方形E₁F₁G₁H₁的面積．
（2）當四邊形ABCD為菱形，且∠A=30°時，如圖3所示．在運動過程中，四邊形EFGH的面積是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）①根據題意，易得AE=BF=CG=DH，又由四邊形ABCD是正方形，可得∠A=∠B=90°，AB=DA，進而可得四邊形EFGH是菱形，又由∠BEF+∠BFE=90°，∠AEH=∠BFE可得∠FEH=90°，可證四邊形EFGH是正方形；
②由正方形ABCD的邊長為4cm，求出其面積，再由正方形A₁B₁C₁D₁的面積求出其邊長，得到HE的長，求出正方形EFGH的面積，由正方形ABCD面積-正方形EFGH面積求出四個直角三角形的面積，由正方形A₁B₁C₁D₁的面積-四個直角三角形的面積即可得到中間正方形E₁F₁G₁H₁的面積；
（2）根據題意，易證△AEH≌△CGF，△EBF≌△GDH，作HM⊥AE于M，作FN⊥EB，交EB的延長線于N，設運動t秒后，四邊形EFGH的面積S取最小值，則AE=t，AH=4-t，又在Rt△AMH中，∠HAM=30°，可得HM與AH的關系，四邊形EFGH的面積與t的關系，其關系式為二次函數，由二次函數的性質，易得答案．

解答：解：（1）①∵點E，F，G，H在四條邊上的運動速度相同，
∴AE=BF=CG=DH，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°，AB=DA，
∴EB=HA，
在△AEH和△BFE中，

AE=BF ∠A=∠B=90° HA=EB

，
∴△AEH≌△BFE（SAS），
∴EH=FE（全等三角形的對應邊相等），
同理可得：EH=FE=GF=HG，
∴四邊形EFGH是菱形，
又∵∠BEF+∠BFE=90°，∠AEH=∠BFE，
∴∠BEF+∠AEH=90°，
∴∠FEH=90°，
∴四邊形EFGH為正方形（有一個角是直角的菱形是正方形）；
②∵正方形ABCD邊長為4cm，正方形A₁B₁C₁D₁的面積為10cm²，
∴S_{正方形ABCD}=16cm²，正方形A₁B₁C₁D₁的邊長為

10

cm，即HE=

10

cm，
∴S_{正方形EFGH}=10cm²，
∴S_{四個直角三角形}=16-10=6cm²，
則正方形E₁F₁G₁H₁的面積S=10-6=4cm²；
（2）四邊形EFGH的面積存在最小值，理由如下：
由條件，易證△AEH≌△CGF，△EBF≌△GDH，
作HM⊥AE于M，作FN⊥EB，交EB的延長線于N，
設運動t秒后，四邊形EFGH的面積S取最小值，則AE=t，AH=4-t，
又在Rt△AMH中，∠HAM=30°，
∴HM=

1

2

AH=

1

2

（4-t），
同理可得FN=

1

2

BF=

1

2

t，
故S_△AEH=

1

2

AE•HM=

1

4

t（4-t），S_△EBF=

1

2

EB•FN=

1

4

t（4-t），
又S_{正方形ABCD}=4×2=8，
∴四邊形EFGH的面積S=8-4•

1

4

t（4-t）=t²-4t+8=（t-2）²+4，
當t=2秒時，四邊形EFGH的面積取最小值等于4cm²．

點評：此題屬于四邊形綜合題，涉及的知識有：全等三角形的判定與性質，正方形的判定與性質，二次函數的性質，含30度角三角形的面積，以及菱形的判定與性質，熟練掌握判定與性質是解本題的關鍵．