Question

設關于x一次函數y=a₁x+b₁與y=a₂x+b₂，我們稱函數y=m（a₁x+b₁）+n（a₂x+b₂）（其中m+n=1）為這兩個函數的生成函數．
（1）請你任意寫出一個y=x+1與y=3x-1的生成函數的解析式；
（2）當x=c時，求y=x+c與y=3x-c的生成函數的函數值；
（3）若函數y=a₁x+b₁與y=a₂x+b₂的圖象的交點為P（a，5），當a₁b₁=a₂b₂=1時，求代數式m（a₁²a²+b₁²）+n（a₂²a²+b₂²）+2ma+2na的值．

Answer 1

解：（1）答案不唯一．比如取m=2時，n=-1．
生成函數為y=2（x+1）-（3x-1）=-x+3，即y=-x+3．…（1分）

（2）當x=c時，y=m（x+c）+n（3x-c）=2c（m+n）．…（2分）
∵m+n=1，
∴y=2c（m+n）=2c．…（3分）

（3）∵點 P （a，5）在y=a₁x+b₁與y=a₂x+b₂的圖象上，
∴a₁a+b₁=5，a₂a+b₂=5．…（4分）
∴a₁²a²+b₁²=（ a₁a+b₁）²-2 aa₁b₁=5²-2 aa₁b₁，a₂²a²+b₂²=（a₂a+b₂）²-2aa₂b₂=5²-2aa₂b₂．
當 a₁b₁=a₂b₂=1時，
m（a₁²a²+b₁²）+n （a₂²a²+b₂²）+2ma+2na=m （5²-2a ）+n（5²-2a）+2ma+2na=25（m+n）．
∵m+n=1，
∴m（a₁²a²+b₁²）+n（a₂²a²+b₂²）+2ma+2na=25（m+n）=25．…（6分）
分析：（1）可以任取一對m、n的值代入求得生成的函數解析式；
（2）將x=c代入得到y=m（x+c）+n（3x-c）=2c（m+n），然后再將m+n=1代入得到y=2c（m+n）=2c；
（3）將點 P （a，5）代入y=a₁x+b₁與y=a₂x+b₂得到a₁a+b₁=5，a₂a+b₂=5，然后表示出a₁²a²+b₁²=（ a₁a+b₁）²-2 aa₁b₁=5²-2 aa₁b₁，a₂²a²+b₂²=（a₂a+b₂）²-2aa₂b₂=5²-2aa₂b₂．再把a₁b₁=a₂b₂=1代入整理即可求得代數式的值．
點評：本題考查了一次函數的綜合知識，解題的關鍵是通過閱讀題目弄明白如何求生成函數的解析式．