Question

下面讓我們來探究有關材料的利用率問題：工人師傅要充分利用一塊邊長為100 cm的正三角形簿鐵皮材料(如圖1)來制作一個圓錐體模型(制作時接頭部分所用材料不考慮)．

(1)求這塊三角形鐵皮的面積(結果精確到0.01 cm²)；

(2)假如要制作的圓錐是一個無底面的模型，且使三角形鐵皮的利用率最高，請你在圖2中畫出裁剪方案的草圖，并計算出鐵皮的利用率(精確到1％)；

(3)假如要用這塊鐵皮裁一塊完整的圓形和一塊完整的扇形，使之配套，恰好做成一個封閉圓錐模型，且使鐵皮得到充分利用，請你設計一種裁剪方案，在圖3中畫出草圖，并計算出鐵皮的利用率(精確到1％)．

Answer 1

答案：
解析：

(1)過點A作AD⊥BC于點D 　　∵△ABC是等邊三角形 　　∴　　　　　　　　　(2分) 　　根據勾股定理得：　　　(3分) 　　∴S△ABC＝　　　(4分) 　　(2)如圖：當扇形與BC邊相切時，三角形鐵皮的利用率最高…(6分) 　　 　　∴利用率≈﹪≈91﹪　　　　　　　　　　　　　　　(8分) 　　(3)方案1： 　　如圖，扇形與⊙O相切于點E，⊙O與BC相切于點E則A、E、O、D在同一直線上，且AE⊥BC　　　(9分) 　　設扇形半徑為，⊙O半徑為 　　則有　　　(10分) 　　 　　∴利用率≈60﹪　　　　　　　　　(13分) 　　方案2： 　　如圖，⊙O與半圓⊙D相切于點E，⊙O與AB、AC相切于點F、G， 　　連結OF，則OF⊥AB，設⊙D的半徑為，設⊙O的半徑為， 　　∵∠BAD＝30°，∴AO＝2　　　　　　(9分) 　　　　　　(10分)(13分) 　　∴　　　　(12分) 　　利用率≈65﹪　　　　　　　　　　　　(13分) 　　方案3： 　　如圖，扇形與⊙O相切于點E，⊙O與AB、BC分別相切于點F、G， 　　連結AO、OF、OB， 　　則AO過點E，OF⊥AB，BO平分∠ABC， 　　設⊙O的半徑為，扇形的半徑為， 　　則有OB＝2，BF＝　　　　　　　　　　(9分) 　　∵∴＝6　　　　　　　　　(10分) 　　∴ 　　∵AF＋BF＝100，∴ 　　∴　　　　　　　　　　　　　(12分) 　　利用率≈68﹪　　　　　　　　　　　(13分)