Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知點的坐標為， 以為圓心，以為半徑的圓與軸相交于點，與軸正半軸相交于點過作，點為弦上一點，連接．

（1）求的長度；

（2）求證；直線是⊙的切線；

（3）若點是弧上一動點(點與點不重合)，過點的的切線交軸于，若為直角三角形，試求出所有符合條件的點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見詳解；（3）所有符合條件的點P的坐標是（-4，2），（4，2），（，4），（，4）．

【解析】

（1）根據勾股定理可以求得OB和OC的長度，從而可以得到B、C兩點的坐標，即可得到答案；
（2）由，∠AOC=90°，則∠OAE=90°，由MA為半徑，則AE是切線；
（3）根據題意，畫出相應的圖形，然后利用分類討論的方法可以得到點P的坐標．

解：（1）連接MB、MC，如圖一所示，

∵點M的坐標為（0，2），以M為圓心，以4為半徑的圓與x軸相交于點B、C，
∴MB=MC=4，OM=2，
∵∠MOB=∠MOC=90°，
∴OB=，
∴OC=，
∴點B的坐標為（，0），點C的坐標為（，0），

∴；

（2）∵，∠AOC=90°，

∴，

∵圓M與軸正半軸相交于點，即MA為半徑，

∴AE是⊙M的切線；

（3）當△BP1G是直角三角形時，如圖二所示，

∵MA=MP1=4，點M的坐標為（0，2），
∴點P1的坐標為（-4，2）；
當△BP2G是直角三角形時，如圖二所示，
∵MA=MP2=4，點M的坐標為（0，2），
∴點P2的坐標為（4，2）；

當△BP3G是直角三角形時，如圖三所示，

∵OB=，OM=2，
∴tan∠MBO=，
∴∠MBO=30°，
∴∠MBP3=60°，
∵BM=MP3，
∴△BMP3是等邊三角形，

∴BP3=4，
∴點P3的坐標為（，4）；
當△BP4G是直角三角形時，如圖三所示，
∵BP4=8，∠P4BG=30°時，
∴點P4的縱坐標是：8×sin30°=8×=4，

橫坐標是：+8×cos30°=+8×=，
∴點P4的坐標為（，4）；
由上可得，若△BPG為直角三角形，所有符合條件的點P的坐標是（-4，2），（4，2），（，4），（，4）．