Question

已知：如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=

1

3

CD，E是AB上一點，AE=2BE，M是腰BC的中點，連接EM并延長交DC的延長線于點F，連接DB交EF于點N．
求證：BN：ND=1：10．

Answer 1

分析：由平行線的性質知，∠F=∠BEM，由M是腰BC的中點知BM=CM，故可由AAS證得△FCM≌△EBM，得出BE=FC，進而得到BE與FD的關系，由BE∥FD，可得△BNE∽△DNF，則BN：ND=BE：FD，代入BE，FD的值即可得BN：ND的值．

解答：證明：設EB=a，則AE=2a，AB=3a，CD=9a．（1分）
∵AB∥CD，
∴∠F=∠BEM，
∵M為BC的中點，
∴BM=CM，又∠FMC=∠EMB，
在△FCM和△EBM中
∵

∠BEM=∠F ∠EMB=∠CMF BM=CM

，
∴△FCM≌△EBM（AAS），（4分）
∴BE=FC=a，
∴FD=FC+CD=10a．（5分）
∵BE∥FD，
∴△BNE∽△DNF，（6分）
∴

BN

ND

=

BE

FD

=

a

10a

=

1

10

．（7分）

點評：本題利用了平行線的性質，全等三角形和相似三角形的判定和性質求解．對于含有兩線段成比例的題，常常通過設參數來達到簡化計算的目的．