Question

如圖，矩形ABCD，AB=6cm，AD=2cm，點P以2cm/s的速度從頂點A出發沿折線A-B-C向點C運動，同時點Q以1cm/s的速度從頂點C出發向點D運動，當其中一個動點到達末端停止運動時，另一點也停止運動．
（1）問兩動點運動幾秒，使四邊形PBCQ的面積是矩形ABCD面積的

4

9

；
（2）問兩動點經過多長時間使得點P與點Q之間的距離為

5

？若存在，求出運動所需的時間；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）要使四邊形PBCQ的面積是矩形ABCD面積的

4

9

，此時點P應在AB上，才是四邊形．根據路程=速度×時間，分別用t表示BP、CQ的長，再根據梯形的面積公式列方程求解；
（2）根據勾股定理列方程即可，注意分情況考慮．

解答：解：（1）設兩動點運動t秒，使四邊形PBCQ的面積是矩形ABCD面積的

4

9

．
根據題意，得BP=6-2t，CQ=t，矩形的面積是12．
則有

1

2

（t+6-2t）×2=12×

4

9

，
解得t=

2

3

；

（2）設兩動點經過t秒使得點P與點Q之間的距離為

5

．
①當0＜t≤3時，則有（6-2t-t）²+4=5，
解得t=

7

3

或

5

3

；
②當3＜t≤4時，則有（8-2t）²+t²=5，
得方程5t²-32t+59=0，
此時△＜0，此方程無解．
綜上所述，當t=

7

3

或

5

3

時，點P與點Q之間的距離為

5

．

點評：此題是一道動態題，有一定的難度，綜合運用了一元二次方程的知識和勾股定理．