Question

（2012•北京二模）如圖，已知點M（-

3

，2）和拋物線y=

1

3

x2，O為直角坐標系的原點．
（1）若直線y=kx+3經過點M，且與x軸交于點A，求∠MAO的度數；
（2）在（1）的條件下，將圖中的拋物線向右平移，設平移后的拋物線與y軸交于點E，與直線AM的一個交點記作F，當EF∥x軸時，求拋物線的頂點坐標．

Answer 1

分析：（1）把點M的坐標代入直線y=kx+3計算求出k值，從而得到直線解析式，然后求出與x軸的交點坐標，過M作MN⊥x軸于點N，求出AN、MN的長度，再根據∠MAN的正切值求解即可；
（2）設平移后的拋物線頂點為P（h，0），令x=0求出點E的坐標，再根據EF∥x軸得到點F的縱坐標，然后代入拋物線解析式計算求出h的值，即可得解．

解答：解：（1）把點M（-

3

，2）代入y=kx+3，
得-

3

k+3=2，即k=

3

3

，
則直線AM是y=

3

3

x+3，
由

3

3

x+3=0，得x=-3

3

，
即點A（-3

3

，0），
過點M作MN⊥x軸于N，
在Rt△MAN中，則AN=2

3

，MN=2，
則tan∠MAN=

3

3

，
則∠MAO=∠MAN=30°；

（2）設平移后的拋物線頂點為P（h，0），其中h＞0，
則解析式變為y=

1

3

（x-h）²，
令x=0，得y=

1

3

h²，
所以，點E（0，

1

3

h²），
∵點F在平移后的拋物線上，且EF∥x軸，
∴點F（2h，

1

3

h²），
∵點F還在直線y=

3

3

x+3上，
∴

1

3

h²=

2 3

3

h+3，
整理得，h²-2

3

h-9=0，
解得，h₁=3

3

，h₂=-

3

（舍去），
故所求拋物線的頂點坐標是（3

3

，0）．

點評：本題是二次函數綜合題型，主要考查了待定系數法求一次函數解析式，特殊角的三角函數，二次函數圖象的幾何變化，（2）利用頂點式形式表示出二次函數解析式是解題的關鍵．