Question

（2013•徐州）如圖，二次函數y=

1

2

x²+bx-

3

2

的圖象與x軸交于點A（-3，0）和點B，以AB為邊在x軸上方作正方形ABCD，點P是x軸上一動點，連接DP，過點P作DP的垂線與y軸交于點E．
（1）請直接寫出點D的坐標：

（-3，4）

；
（2）當點P在線段AO（點P不與A、O重合）上運動至何處時，線段OE的長有最大值，求出這個最大值；
（3）是否存在這樣的點P，使△PED是等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標及此時△PED與正方形ABCD重疊部分的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將點A的坐標代入二次函數的解析式求得其解析式，然后求得點B的坐標即可求得正方形ABCD的邊長，從而求得點D的縱坐標；
（2）PA=t，OE=l，利用△DAP∽△POE得到比例式，從而得到有關兩個變量的二次函數，求最值即可；
（3）分點P位于y軸左側和右側兩種情況討論即可得到重疊部分的面積．

解答：解：（1）（-3，4）；

（2）設PA=t，OE=l
由∠DAP=∠POE=∠DPE=90°得△DAP∽△POE
∴

4

3-t

=

t

l

∴l(xiāng)=-

1

4

t2+

3

4

t=-

1

4

（t-

3

2

）²+

9

16

∴當t=

3

2

時，l有最大值

9

16

即P為AO中點時，OE的最大值為

9

16

；

（3）存在．
①點P點在y軸左側時，DE交AB于點G，
P點的坐標為（-4，0），
∴PA=OP-AO=4-3=1，
由△PAD≌△OEP得OE=PA=1
∴OP=OA+PA=4
∵△ADG∽△OEG
∴AG：GO=AD：OE=4：1
∴AG=

4

5

AO=

12

5

∴重疊部分的面積=

1

2

×4×

12

5

=

24

5

②當P點在y軸右側時，P點的坐標為（4，0），
此時重疊部分的面積為

712

77

點評：本題考查了二次函數的綜合知識，與二次函數的最值結合起來，題目的難度較大．