Question

如圖，拋物線y₁與y₂都與x軸交于點O（0，0）和點A，y₁的頂點是B（2，-1），y₂的頂點是C（2，-3），P是y₁上的一個動點，過P作y軸的平行線交y₂于點Q，分別過P，Q作x軸的平行線，分別交y₁，y₂于點P′，Q′，連接P′Q′．
（1）四邊形PP′Q′Q 是

矩

形．
（2）求y₁與y₂關于x的函數關系式．
（3）設P點的橫坐標為t（t＞2且t≠4），四邊形PP′Q′Q的周長為y，試求y與t的函數關系式．
（4）當四邊形PP′Q′Q是正方形，請直接寫出P點的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據二次函數的對稱性解答；
（2）設兩函數的頂點式解析式分別為y₁=a₁（x-2）²-1，y₂=a₂（x-2）²-3，然后把原點坐標代入函數解析式求解即可；
（3）根據兩函數解析式表示出PQ，根據對稱性求出PP′，然后根據矩形的周長公式列式整理即可得解；
（4）根據鄰邊相等的矩形是正方形列方程求出t的值，再利用拋物線解析式求解即可．

解答：解：（1）∵PP′∥x軸，QQ′∥x軸，
∴四邊形PP′Q′Q關于對稱軸直線x=2對稱，
∵PQ∥y軸，
∴PQ⊥PP′，
∴四邊形PP′Q′Q是矩形；

（2）∵y₁的頂點是B（2，-1），y₂的頂點是C（2，-3），
∴設兩函數的解析式分別為y₁=a₁（x-2）²-1，y₂=a₂（x-2）²-3，
則a₁（0-2）²-1=0，a₂（0-2）²-3=0，
解得a₁=

1

4

，a₂=

3

4

，
所以，y₁=

1

4

（x-2）²-1，y₂=

3

4

（x-2）²-3；

（3）∵P點的橫坐標為t（t＞2且t≠4），
∴PQ=|

1

4

（t-2）²-1-

3

4

（t-2）²+3|=|2-

1

2

（t-2）²|=|-

1

2

t²+2t|，
由拋物線的對稱性，PP′=2（t-2）=2t-4，
∴2＜t＜4時，y=2（2t-4-

1

2

t²+2t）=-t²+8t-8，
t＞4時，y=2（2t-4+

1

2

t²-2t）=t²-8，
綜上所述，y與t的函數關系式為y=

-t2+8t-8(2＜t＜4) t2-8(t＞4)

；

（4）當四邊形PP′Q′Q是正方形時，PP′=PQ，
∴2t-4=|-

1

2

t²+2t|，
∴①2＜t＜4時，2t-4=-

1

2

t²+2t，
整理得，t²=8，
解得t₁=2

2

，t₂=-2

2

（舍去），
此時，y₁=

1

4

（2

2

-2）²-1=2-2

2

，
∴點P的坐標為（2

2

，2-2

2

）；
②t＞4時，2t-4=-（-

1

2

t²+2t），
整理得，t²-8t+8=0，
解得，t₃=4+2

2

，t₄=4-2

2

（舍去），
此時，y₁=

1

4

（4+2

2

-2）²-1=2+2

2

，
∴點P的坐標為（4+2

2

，2+2

2

），
綜上所述，四邊形PP′Q′Q是正方形，點P（2

2

，2-2

2

）或（4+2

2

，2+2

2

）．

點評：本題是二次函數綜合題型，主要利用了二次函數的對稱性，矩形的判定與性質，待定系數法求二次函數解析式，以及鄰邊相等的矩形是正方形，（4）根據t的取值范圍分情況討論是解題關鍵，也是本題容易出錯的地方．