Question

 如圖，拋物線y1=a(x+2)2-3與y2=

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2

(x-3)2+1交于點A（1，3）過點A作x軸的平行線，分別交兩條拋物線于點B、C，則以下結論：
①無論x取何值，y₂的值總是正數；②a=

2

3

；③當x=0時，y₂-y₁=4；④2AB=3AC；
其中，結論正確的是

①②④

（填寫序號即可）

Answer 1

分析：根據與y₂=

1

2

（x-3）²+1的圖象在x軸上方即可得出y₂的取值范圍；把A（1，3）代入拋物線y₁=a（x+2）²-3即可得出a的值；由拋物線與y軸的交點求出，y₂-y₁的值；根據兩函數的解析式求出A、B、C的坐標，計算出AB與AC的長，即可得到AB與AC的關系．

解答：解：①∵拋物線y₂=

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（x-3）²+1開口向上，頂點坐標在x軸的上方，
∴無論x取何值，y₂的值總是正數，故本選項正確；

②把A（1，3）代入，拋物線y₁=a（x+2）²-3得，3=a（1+2）²-3，
解得a=

2

3

，故本選項正確；

③由兩函數圖象可知，拋物線y₁=a（x+2）²-3
解析式為y₁=

2

3

（x+2）²-3，
當x=0時，y₁=

2

3

（0+2）²-3=-

1

3

，y₂=

1

2

（0-3）²+1=

11

2

，
故y₂-y₁=-

1

3

-

11

2

=-

35

6

，故本選項錯誤；

④∵物線y₁=a（x+2）²-3與y₂=

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2

（x-3）²+1交于點A（1，3），
∴y₁的對稱軸為x=-2，y₂的對稱軸為x=3，
∴B（-5，3），C（5，3）
∴AB=6，AC=4，
∴2AB=3AC，故本選項題正確．
故答案為①②④．

點評：本題考查的是二次函數的性質，根據題意利用數形結合進行解答是解答此題的關鍵，同時要熟悉二次函數圖象上點的坐標特征．