Question

點D、E、F分別是△ABC的邊AB、BC、CA的中點．如圖所示，若以BD、BE為邊分別作正△BMD和正△BEN，連接MF、FN、MN． 易證△FMN是等邊三角形，因而∠MFN=60°；若以BD、BE為邊分別作正方形BPMD和正方形BQNE，連接MF、NF、MN，則∠MFN的度數是

90°

；若以BD、BE為邊分別作正n邊形，設兩個正n邊形與點D、E相鄰的頂點分別是M、N（點M、N與點B是不同的點），連接MF、NF、MN得到△FMN，則∠MFN的度數是

180°-

360°

n

．

Answer 1

分析：連接DF、EF，根據三角形的中位線的性質，可以得出四邊形BDEF是平行四邊形，就可以得出△MDF≌△FEN，就有FN=FM，∠DMF=∠EFN，利用角的關系就可以得出∠MFN=90°，根據以BD、BE為邊分別作正三邊形和四邊形的結論可以得出
以BD、BE為邊分別作正n邊形的結論．

解答：解：①如圖，連接DF、EF，
∵D、E、F是△ABC各邊的中點，
∴DF、EF是△ABC的中位線，AD=BD=

1

2

AB，BE=CE=

1

2

BC，
∴DF∥BC，EF∥AB，DF=

1

2

BC，EF=

1

2

AB，
∴四邊形BDEF是平行四邊形，
∴∠BDF=∠FEB，EF=BD，DF=BE，∠2+∠MFE=180°．
∵四邊形BPMD和四邊形BQNE是正方形，
∴DM=DB，BE=EN，∠MDB=∠BEN=90°．
∴∠MDB+∠BDF=∠BEN+∠BEF，
∴∠MDF=∠FEN．
在△MDF和△FEN中，

MD=FE ∠MDF=∠FEN DF=EN

，
∴△MDF≌△FEN，
∴∠DMF=∠EFN．MF=NF．
∵∠1+∠DMF=90°，∠1=∠2，
∴∠2+∠EFN=90°，
∴∠MFN=90°．
②∵當以BD、BE為邊分別作正三角形時，∠MFE=60°=180°-

360°

3

，
當以BD、BE為邊分別作正四邊形時，∠MFE=90°=180°-

360

4

，
∴當以BD、BE為邊分別作正n邊形時，∠MFE=180°-

360

n

．
故答案為：90°，180°-

360

n

．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質的運用，等邊三角形的性質的運用，正方形的性質的運用，平行四邊形的性質的運用，解答本題時證明三角形全等是關鍵．