Question

如圖，直線a、b相交于點A，C、E分別是直線b、a上兩點且BC⊥a，DE⊥b，點M、N是中點．
求證：（1）DM=BM；（2）MN⊥BD．

Answer 1

分析：（1）由BC⊥a，DE⊥b，易得△CBE，△CDE為直角三角形，又由點M是EC中點，根據直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，即可證得：DM=BM；
（2）根據等腰三角形中的三線合一，即可證得．

解答：證明：（1）∵BC⊥a，DE⊥b，
∴∠CDE=∠CBE=90°，
∴△CBE，△CDE為直角三角形，
∵點M是中點，
∴DM=BM=

1

2

EC，
∴DM=BM；

（2）∵DM=BM，
∴△MDB為等腰三角形，
又∵N為BD的中點，
∴MN為BD邊上的中線，
∴MN⊥BD（三線合一）．

點評：此題考查了直角三角形中斜邊的中線等于斜邊的一半與等腰三角形的三線合一的性質．此題圖形比較復雜，但難度不大，解題的關鍵是要注意數形結合思想的應用．