Question

圓柱體內挖去一個與它不等高的圓錐，如其實物圖和其剖面圖所示．錐頂O到AD的距離為1，∠OCD=30°，OC=4，則挖去后該物體的表面積是

（16+8

3

）π

．

Answer 1

分析：首先過點O作OE⊥CD于點E，利用銳角三角函數關系求出EO，EC的長度，進而得出圓錐側面積，圓柱底面圓的面積，圓柱側面積，即可得出挖去后該物體的表面積．

解答：解：過點O作OE⊥CD于點E，
∵∠OCD=30°，OC=4，
∴sin30°=

OE

OC

=

OE

4

，
解得：EO=2，
cos30°=

EC

CO

=

EC

4

=

3

2

，
解得：EC=2

3

，
故由題意可得出：圓錐底面半徑為2，DC=1+EC=1+2

3

，
則圓錐側面積為：S=π×底面圓的半徑×母線=π×2×4=8π，圓柱底面圓的面積為：π×2 ²=4π，
圓柱側面積為：底面圓的周長×圓柱的高=2×π×2×（1+2

3

）=4π+8

3

π，
故該物體的表面積=圓錐側面積+圓柱底面圓的面積+圓柱側面積=8π+4π+4π+8

3

π=（16+8

3

）π．
故答案為：（16+8

3

）π．

點評：此題主要考查了圓錐的有關計算以及圓柱側面積求法和銳角三角函數的應用等知識，根據圖象得出該物體的表面積=圓錐側面積+圓柱底面圓的面積+圓柱側面積是解題關鍵．