Question

如圖，在正方形ABCD中，G是CD上一點，延長BC至E，使CE=CG，連接BG并延長交DE于F．
（1）試判斷線段BG與DE有何關系，并且說明理由．
（2）當正方形ABCD的邊長BC=6，CE=2時，求GF的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）BG=DE，根據正方形的四條邊都相等，四個角都是直角可得：BC=CD、∠BCF=∠DCE=90°，又CE=CF，根據邊角邊定理證明△BCF和△DCE全等，再根據全等三角形對應邊相等即可證明；
（2）由勾股定理和已知數據可求出BG的長，利用有兩對角相等的三角形相似可證明：△BGC∽△DGF，利用相似三角形的性質可得關于GF的比例式，把數據代入比例式即可求出GF的長．
解答：證明：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=DC，∠BCD=90°
∵E為BC延長線上的點，
∴∠DCE=90°，
∴∠BCD=∠DCE，
在△BCG和△DCE中，
，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴BG=DE；∠CBG=∠CDE，
∵∠CDE+∠DEC=90°，
∴∠CBG+∠E=90°，即BF⊥DE，
線段BG與DE垂直且相等．
（2）∵∠BCD=90°，
∴△BCG是直角三角形，
∴BG²=BC²+CG²，
∵CE=CG=2，BC=6，
∴BG==2，
∵BC=DC=6，CG=2，
∴DG=DC-CG=4，
∵△BCG≌△DCE，
∴∠GBC=∠GDC，
∵∠BGC=∠DGF，
∴△BGC∽△DGF，
∴，
∴，
GF==．
點評：本題主要考查正方形的四條邊都相等和四個角都是直角的性質以及三角形全等的判定和全等三角形對應邊相等的性質、勾股定理的運用以及相似三角形的判定和性質．