Question

【題目】在矩形ABCD中，AB=3，AD=2，點E是射線DA上一點，連接EB，以點E為圓心EB長為半徑畫弧，交射線CB于點F，作射線FE與CD延長線交于點G．

（1）如圖1，若DE=5，則∠DEG=______°；

（2）若∠BEF=60°，請在圖2中補全圖形，并求EG的長；

（3）若以E，F，B，D為頂點的四邊形是平行四邊形，此時EG的長為______．

Answer 1

【答案】（1）45；（2）見解析，EG=4+2；（3）2

【解析】

（1）由題意可得AE=AB=3，可得∠AEB=∠ABE=45°，由矩形的性質可得AD∥BC，可得∠AEB=∠EBF=45°，∠EFB=∠GED，結合等腰三角形的性質，即可求解；

（2）由題意畫出圖形，可得∠F=∠5=60°，可得∠6=∠G=30°，由直角三角形的性質可得AE=，DE=2+，由直角三角形的性質可得EG的長；

（3）由平行四邊形的性質可得EF=BD，ED=BF，由等腰三角形的性質可得AE=AD=2，由勾股定理可求EF=BE=，由EH∥CG∥BM，H是BF的中點，B是HC的中點，即可求解．

（1）∵DE=5，AB=3，AD=2，

∴AE=AB=3，

∴∠AEB=∠ABE=45°，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥CB，

∴∠AEB=∠EBF=45°，∠EFB=∠GED，

∵EF=EB，

∴∠EFB=∠EBF=45°，

∴∠GED=45°，

故答案為：45；

（2）如圖1所示．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠1=∠2=∠3=∠ABF=∠C=90°．

∵∠4=60°，EF=EB，

∴∠F=∠5=60°．

∴∠6=∠G=30°，

∴AE=BE．

∵AB=3，

∴根據勾股定理可得：AE2+32=(2AE)2，解得：AE=，

∵AD=2，

∴DE=2+，

∴EG=2DE =4+2；

（3）如圖2，連接BD，過點E作EH⊥FC，延長BA交FG于點M，

∵四邊形EDBF是平行四邊形，

∴EF=BD，ED=BF，

∵EF=BE，

∴EB=BD，且AB⊥DE，

∴AE=AD=2，

∴BF=DE=4，

∵EB==，

∴EF=，

∵EF=BE，EH⊥FC，

∴FH=BH=2=BC，

∴CH=4，

∵EH⊥BC，CD⊥BC，AB⊥BC，

∴EH∥CG∥BM，

∵H是BF的中點，B是HC的中點，

∴E是FM的中點，M是EG的中點，

∴EG═2EF=2

故答案為：2