Question

（2007•遵義）如圖，已知一次函數的圖象與x軸，y軸分別相交于A，B兩點，點C在AB上以每秒1個單位的速度從點B向點A運動，同時點D在線段AO上以同樣的速度從點A向點O運動，運動時間用t（單位：秒）表示．
（1）求AB的長；
（2）當t為何值時，△ACD與△AOB相似并直接寫出此時點C的坐標；
（3）△ACD的面積是否有最大值？若有，此時t為何值；若沒有，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先容易求出A，B兩點的坐標，然后求出OA，OB的長度，再利用勾股定理求AB；
（2）先用t分別表示AC，AD的長度，再根據相似的性質可以列出關于t的方程，解方程就可以求出點C的坐標；
（3）用t表示△ACD的面積，然后利用二次函數求最大值．
解答：解：（1）當x=0時，y=3；當y=0時，x=4；
∴A（4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，
∴AB==5；

（2）依題意BC=t，AC=5-t，AD=t，
若△ACD∽△ABO相似，
∴，
代入得：
=，
解得：t=，
若△ACD∽△AOB相似，
，
，
解得t=，
故C（，）或（，）；

（3）∵AC=5-t，AD=t，而sin∠A==，
∴AD邊上的高=（5-t），
∴S_△ACD=×AD×（5-t）=（5t-t²），
∴S_△ACD有最大值，此時t=2.5，
∵S_△ACD=（5t-t²）=-（t-2.5）²+，
∴當t=2.5時，S_△ACD有最大值．
點評：此題既考查了勾股定理的計算，也考查了相似三角形的性質，還有利用二次函數求最大值．