Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，D是BC邊上一點，CD=3cm，點P為邊AC上一動點（點P與A、C不重合），過點P作PE∥BC，交AD于點E．點P以1cm/s的速度從A到C勻速運動．
（1）設點P的運動時間為t（s），DE的長為y（cm），求y關于t的函數關系式，并寫出t的取值范圍；
（2）當t為何值時，以PE為半徑的⊙E與以DB為半徑的⊙D外切？并求此時∠DPE的正切值；
（3）將△ABD沿直線AD翻折，得到△AB’D，連接B’C．如果∠ACE=∠BCB’，求t的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據勾股定理求得AD的長，又由平行線分線段成比例定理求得DE的長，則可得y與x的關系；
（2）因為當以PE為半徑的⊙E與DB為半徑的⊙D外切時，有DE=PE+BD，所以可以求得t的值，即可求得PC的長，則在Rt△PCD中，根據三角函數的性質即可求得tan∠DPE的值；
（3）首先由有兩角對應相等的三角形相似，即可證得：△ACD∽△BFD與△ACE∽△BCB′，又由相似三角形對應邊成比例，即可求得AP的值．
解答：解：（1）∵在Rt△ABC中，AC=4，CD=3，
∴AD=5，
∵PE∥BC，AP=t，
∴=，
∴=，
∴AE=t，
∴DE=5-t，
∴y=5-t，（0＜t＜4）；

（2）連接PD，
當以PE為半徑的⊙E與DB為半徑的⊙D外切時，有DE=PE+BD，即5-t=t+2，
解得：t=
則PC=，
∵PE∥BC，
∴∠DPE=∠PDC，
在Rt△PCD中，
tan∠PDC===；
則tan∠DPE=；

（3）延長AD交BB′于F，則AF⊥BB′，
則∠ACD=∠BFD，
∵∠ADC=∠FDB，
∴∠CAD=∠FBD，
∴△ACD∽△BFD，
∴BF=，
∴BB′=，
∵∠ACE=∠BCB′，∠CAE=∠CBB′，
∴△ACE∽△BCB′，
∴AE=，
∴t=AP=．
點評：此題考查了相似形的綜合，用到的知識點是相似三角形的判定與性質，以及旋轉的性質，三角函數等．此題難度適中，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用．