Question

二次函數(shù)的圖象如圖所示，點(diǎn)A位于坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A₁，A₂，A₃，…，A₂₀₁₁在y軸的正半軸上，點(diǎn) B₁，B₂，B₃，…，B₂₀₁₁在二次函數(shù)位于第一象限的圖象上，若△AB₁A₁，△A₁B₂A₂，△A₂B₃A₃，…，△A₂₀₁₀B₂₀₁₁A₂₀₁₁都為等邊三角形，則△AB₁A₁的邊長=    ，△A₂₀₁₀B₂₀₁₁A₂₀₁₁的邊長=    ．

Answer 1

【答案】分析：先計算出△AB₁A₁；△A₁B₂A₂；△A₂B₃A₂的邊長，推理出各邊長組成的數(shù)列各項之間的排列規(guī)律，依據(jù)規(guī)律得到△A₂₀₁₀B₂₀₁₁A₂₀₁₁的邊長．
解答：解：作B₁A⊥y軸于A，B₂B⊥y軸于B，B₃C⊥y軸于C．
設(shè)等邊△AB₁A₁、△A₁B₂A₂、△A₂B₃A₃中，AA₁=a，BA₂=b，CA₂=c．
①等邊△AB₁A₁中，AA=a，
所以B₁A=atan60°=a，代入解析式得×（a）²=a，解得a=0（舍去）或a=，于是等邊△AB₁A₁的邊長為×2=1；
②等邊△A₁B₂A₂中，A₁B=b，
所以BB₂=btan60°=b，B₂點(diǎn)坐標(biāo)為（b，1+b）代入解析式得×（b）²=1+b，
解得b=-（舍去）或b=1，
于是等邊△A₁B₂A₂的邊長為1×2=2；
③等邊△A₂B₃A₃中，A₂C=c，
所以CB₃=btan60°=c，B₃點(diǎn)坐標(biāo)為（3c，3+c）代入解析式得×（c）²=3+c，
解得c=-1（舍去）或c=，
于是等邊△A₂B₃A₃的邊長為×2=3．
于是△A₂₀₁₀B₂₀₁₁A₂₀₁₁的邊長為2011．
點(diǎn)評：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，此題將二次函數(shù)和等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合在一起，是一道開放題，有利于培養(yǎng)同學(xué)們的探索發(fā)現(xiàn)意識．