Question

如圖，反比例函數y=（x＞0）上有兩點A（4，1）、B（a，b）：（0＜a＜4），過點A作AC⊥y軸于點C，
（1）求此反比例函數的解析式；
（2）在坐標平面內有一點D，使四邊形ABCD是菱形，求出B、D兩點的坐標；
（3）如果四邊形ABCD是平行四邊形，且面積為12，求出此平行四邊形對角線可達的最大長度．

Answer 1

解：（1）∵反比例函數y=（x＞0）上經過點A（4，1），
∴1=，
∴k=4，
∴反比例函數的解析式為：y=（x＞0）；

（2）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC、BD互相垂直平分，
因此點B的橫坐標為：a=2；
由于點B在反比例函數的圖象上，那么ab=4，即b=2；
因此B（2，2）；
由于B、D關于直線AC（即y=1）對稱，所以D（2，0）．

（3）∵四邊形ABCD是平行四邊形，且面積為12，
∴2××AC×|y_B-y_A|=12，即：4×|y_B-1|=12；
由于y_B＞0，解得y_B=4，即B（a，4）；
代入反比例函數的解析式中，可得B（1，4），AC中點坐標為（2，1），
則D（2×2-1，2×1-4）即（3，-2）；
因此對角線AC=4，BD==2；
因此平行四邊形的對角線可達的最大長度為2．

分析：（1）已知反比例函數圖象上的一點坐標，利用待定系數法即可確定該反比例函數的解析式．
（2）若四邊形ABCD是菱形（AC為對角線），根據菱形的對角線互相垂直平分的特性，可確定點B的橫坐標，再由反比例函數的解析式可確定點B的坐標；由于B、D關于直線AC對稱，即可確定點D的坐標．
（3）平行四邊形的一條對角線將該平行四邊形分成面積相等的兩個三角形，可以AC為底、B與A的縱坐標差的絕對值為高，可表示出其中一個三角形的面積，進而可表示出該平行四邊形的面積，由四邊形的面積為12，可確定點B的坐標，進而可得到點D的坐標，然后分別求出AC、BD的長，即可得到平行四邊形的對角線的最大長度．
點評：此題考查的知識點有：反比例函數解析式的確定、菱形的性質和判定、平行四邊形的性質以及面積的求法等知識，熟練掌握各種特殊四邊形的性質，是準確解題的關鍵．