Question

（2004•鄭州）已知：如圖，在平面直角坐標系中，半徑為的⊙O′與y軸交于A、B兩點，與直線OC相切于點C，∠BOC=45°，BC⊥OC，垂足為C．
（1）判斷△ABC的形狀；
（2）在上取一點D，連接DA、DB、DC，DA交BC于點E．求證：BD•CD=AD•ED；
（3）延長BC交x軸于點G，求經過O、C、G三點的二次函數的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于OC是圓的切線，而BC⊥OC，那么BC必過圓心，也就是說BC為圓O′的直徑，那么∠CAB=90°，即三角形BAC是直角三角形，又由∠BOC=45°，那么∠CBO=45°，因此三角形BAC是等腰直角三角形．
（2）本題其實證的是三角形ADC和BDE相似，這兩個三角形中，根據圓周角定理可得出∠CAD=∠DBE，根據（1）的結論又能得出弧AC=弧AB，那么可得出∠ADC=∠BDE，由此可得出兩三角形相似，也就能得出本題要證得結論．
（3）已知了半徑的長，就能求出CA，OA的長，也就知道了C的坐標，知道OA，CA，AB的長也就能求出OB的長，又因為三角形OGB也是個等腰直角三角形因此OG=OB，可得出G的坐標，然后用待定系數法即可得出過O，C，G的二次函數的解析式．
解答：（1）解：∵OC與⊙O'相切
∴O'C⊥OC
又∵BC⊥OC
∴O'在BC上，即BC為⊙O'的直徑
∴∠CAB=90°
∴CA⊥BA
∵∠BOC=45°
∴△BOC為等腰直角三角形
∴A為OB的中點，CD=OB=AB
∴△ABC是等腰直角三角形．

（2）證明：∵AC=AB
∴=．
∴∠ADC=∠ADB
又∵∠CAD=∠CBD
∴△ADC∽△BDE
∴，
即BD•CD=AD•ED．

（3）解：在Rt△BOC中
∵⊙O′的半徑為
∴BC=4
∵∠BOC=45°
∴OB=•BC=8，CA=OA=AB=OB=4
∵CA∥x軸，
∴C點坐標為（-4，-4）
∴BC=CG
∴AC為△BGO的中位線
∴OG=2AC=8
∴G點坐標為（-8，0）
設過O、C、G三點的二次函數為y=ax²+bx+c，
由已知，函數圖象過（0，0），（-4，-4），（-8，0）三點，得
解這個方程組，得
a=，b=2，c=0
因此，所求二次函數是y=x²+2x．
點評：本題主要考查了等腰直角三角形的性質，相似三角形的判定以及二次函數的綜合應用等知識．根據等腰三角形的性質得出相關的線段相等是解題的關鍵．