Question

已知關于x的一元二次方程x²-2x+m=0．
（1）若-1是方程的一個根，求m的值和方程的另一根；
（2）判斷命題“若m≤2，則方程x²-2x+m=0必有實數根”是否正確．若正確，請說明理由；若不正確，請舉出反例．

Answer 1

分析：（1）根據兩根之和可以求出方程的另一個根，兩根之積可以求出m的值．
（2）利用一元二次方程根的判別式求出m的取值范圍，確定方程的根的情況，判斷命題是否正確，并舉出具體的數字說明．

解答：解：（1）解法一：設方程的另一根為x，
則

-1+x=2 -1•x=m

，
解得

x=3 m=-3

，
解法二：將x=-1代入方程，得：1+2+m=0，
解得：m=-3．
將m=-3代入方程，得x²-2x-3=0，
解得，x₁=-1，x₂=3，
所以方程的另一根為x₂=3；

（2）命題不正確．
△=4-4m＞0，m＜1，
∴命題不正確．
反例：取m=2，滿足m≤2，此時方程為x²-2x+2=0，
而根的判別式△=（-2）²-4×1×2=-4＜0，
此時方程沒有實數根．
所以原命題不正確．

點評：本題考查的是一元二次方程根與系數的關系和根的判別式，（1）根據根與系數的關系，由兩根之和求出方程的另一個根，兩根之積求出m的值．（2）由判別式求出m的取值范圍，判斷命題不正確，然后用具體的數說明．