Question

【題目】將一副三角尺如圖拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的長直角邊AC與含45°角的三角尺（△ACD）的斜邊AC恰好重合．已知AB=2，P是AC上的一個動點．

（1）當點P在∠ABC的平分線上時，求DP的長；

（2）當點PD=BC時，求此時∠PDA的度數；

（3）當點P運動到什么位置時，以D、P、B、Q為頂點構成平行四邊形的頂點Q恰好在BC邊上，求出此時DPBQ的面積．

Answer 1

【答案】（1）．（2）15°或75°；（3）．

【解析】

試題分析：（1）作DF⊥AC于F，由AB的長求得BC、AC的長．在等腰Rt△DAC中，DF=FA=FC；在Rt△BCP中，求得PC的長．則由勾股定理即可求得DP的長．

（2）由（1）得BC與DF的關系，則DP與DF的關系也已知，先求得∠PDF的度數，則∠PDA的度數也可求出，需注意有兩種情況．

（3）由于四邊形DPBQ為平行四邊形，則BC∥DF，P為AC中點，作出平行四邊形，求得面積．

解：在Rt△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，

∴BC=，AC=3．

（1）如圖（1），作DF⊥AC于F．

∵Rt△ACD中，AD=CD，

∴DF=AF=CF=．

∵BP平分∠ABC，

∴∠PBC=30°，

∴CP=BCtan30°=1，

∴PF=，

∴DP==．

（2）當P點位置如圖（2）所示時，

根據（1）中結論，DF=，∠ADF=45°，

又∵PD=BC=，

∴cos∠PDF==，

∴∠PDF=30°．

∴∠PDA=∠ADF﹣∠PDF=15°．

當P點位置如圖（3）所示時，同（2）可得∠PDF=30°．

∴∠PDA=∠ADF+∠PDF=75°．

故∠PDA的度數為15°或75°；

（3）當點P運動到邊AC中點（如圖4），即CP=時，

以D，P，B，Q為頂點的平行四邊形的頂點Q恰好在邊BC上．

∵四邊形DPBQ為平行四邊形，

∴BC∥DP，

∵∠ACB=90°，

∴∠DPC=90°，即DP⊥AC．

而在Rt△ABC中，AB=2，BC=，

∴根據勾股定理得：AC=3，

∵△DAC為等腰直角三角形，

∴DP=CP=AC=，

∵BC∥DP，

∴CP是平行四邊形DPBQ的高，

∴S平行四邊形DPBQ=DPCP=．