Question

已知：關于x的一元二次方程mx²-（3m+2）x+2m+2=0（m≠0）
（1）若m=1，求出此時方程的實數根；
（2）求證：方程總有實數根；
（3）設m＞0，方程的兩個實數根分別為x₁，x₂（其中x₁＜x₂）、若y是關于m的函數，且y=x₂-2x₁，求函數的解析式，并畫出其圖象．（畫草圖即可，不必列表）

Answer 1

分析：（1）把m的值，代入方程，解方程即可；
（2）運用根的判別式判斷，列出判別式的表達式，再變形成為非負數，得出△≥0即可；
（3）可根據求根公式求出x₁、x₂，代入y=x₂-2x₁中，得出關于m的函數關系式，根據m＞0，畫出函數圖象．

解答：解：（1）若m=1，方程化為x²-5x+4=0
即（x-1）（x-4）=0，得x-1=0或x-4=0，
∴x₁=1或x₂=4；

證明：（2）∵mx²-（3m+2）x+2m+2=0是關于x的一元二次方程，
∴△=[-（3m+2）]²-4m（2m+2）=m²+4m+4=（m+2）²
∵m≠0，
∴（m+2）²≥0，即△≥0
∴方程有實數根；

解：（3）由求根公式，得x=

(3m+2)±(m+2)

2m

．
∴x=

2m+2

m

或x=1
∵

2m+2

m

=2+

2

m

∵m＞0，
∴

2m+2

m

=2+

2

m

＞2
∵x₁＜x₂，
∴x₁=1，x2=

2m+2

m

∴y=x2-2x1=

2m+2

m

-2×1=

2

m

即y=

2

m

(m＞0)為所求．
此函數為反比例函數，其圖象如圖所示：即y=

2

m

(m＞0)為所求．
此函數為反比例函數，其圖象如圖所示：

點評：本題重點考查了反比例函數的性質（點評不合題意）及一元二次方程根的判別式和根與系數的關系（此題并沒有設計，需要重新檢查此題），是一個綜合性的題目，也是一個難度中等的題目．