Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，點E是線段AD上的一個動點（E與A、D不重合），G、F、H分別是BE、BC、CE的中點．
（1）試探索四邊形EGFH的形狀，并說明理由；
（2）當點E運動到什么位置時，四邊形EGFH是菱形？并加以證明；
（3）若（2）中的菱形EGFH是正方形，請探索線段EF與線段BC的關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知得GF∥EH，GF=EH．根據有一組邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判定四邊形EGFH是平行四邊形．
（2）根據等腰梯形的性質及已知利用SAS判定△AABE≌△DCE，從而得到BE=CE，根據G、H分別是BE、CE的中點，得到EG=EH，所以有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．
（3）根據正方形的性質得到EG=EH，∠BEC=90°，由已知可得到EB=EC，因為F是BC的中點，所以EF⊥BC，EF=BC．
解答：解：（1）四邊形EGFH是平行四邊形．
理由是：∵G、F、H分別是BE、BC、CE的中點，
∴GF∥EH，GF=EH
∴四邊形EGFH是平行四邊形．

（2）當點E是AD的中點時，四邊形EGFH是菱形．
證明：∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴AB=DC，∠A=∠D，
在△ABE與△DCE中，
∵，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴BE=CE
∵G、H分別是BE、CE的中點，
∴EG=EH
又∵由（1）知四邊形EGFH是平行四邊形，
∴四邊形EGFH是菱形．

（3）EF⊥BC，EF=BC
證明：∵四邊形EGFH是正方形，
∴EG=EH，∠BEC=90°
∵G、H分別是BE、CE的中點，
∴根據中位線定理知道EB=EC，
∵F是BC的中點，E為AD的中點，
∴△BEC為等腰直角三角形，
∴EF⊥BC，EF=BC．
點評：此題主要考查學生對等腰梯形的性質，平行四邊形的判定，菱形的判定，及正方形的性質等知識點的綜合運用．