Question

如圖，已知AB為⊙O的直徑，PA與⊙O相切于點A，線段OP與弦AC垂直并相交于點D，OP與弧AC相交于點E，連接BC．

（1）求證：∠PAC=∠B，且PA•BC=AB•CD；
（2）若PA=10，sinP=，求PE的長．

Answer 1

（1）證明見解析（2）5

（1）證明：∵PA是⊙O的切線，AB是直徑，∴∠PAO=90°，∠C=90°。
∴∠PAC+∠BAC=90°，∠B+∠BAC=90°。∴∠PAC=∠B。
又∵OP⊥AC，∴∠ADP=∠C=90°。∴△PAD∽△ABC，∴AP：AB=AD：BC，
∵在⊙O中，AD⊥OD，∴AD=CD。∴AP：AB=CD：BC。∴PA•BC=AB•CD；
（2）解：∵sinP=，且AP=10，∴。∴AD=6。∴AC=2AD=12。
在Rt△ADP中，根據勾股定理得：。
又∵△PAD∽△ABC，∴AP：AB=PD：AC。∴AB==15。∴AO=。
在Rt△APO中，根據勾股定理得：。
∴PE=OP﹣OE= ﹣=5。
（1）由PA為圓O的切線，利用切線的性質得到AP垂直于AB，可得出∠PAO為直角，得到∠PAD與∠DAO互余，再由AB為圓O的直徑，根據直徑所對的圓周角為直角，可得出∠ACB為直角，得到∠DAO與∠B互余，根據同角的余角相等可得出∠PAC=∠B，再由一對直角相等，利用兩對對應角相等的兩三角形相似可得出△APD與△ABC相似，由相似得比例，再由OD垂直于AC，利用垂徑定理得到AD=CD，等量代換可得證。
（2）在Rt△APD中，由PA及sinP的值求出AD的長，再利用勾股定理求出PD的長，從而確定出AC的長，由（1）兩三角形相似得到的比例式，將各自的值代入求出AB的上，求出半徑AO的長，在Rt△APO中，由AP及AO的長，利用勾股定理求出OP的長，用OP﹣OE即可求出PE的長。