Question

（2012•中山區一模）如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c與x軸分別交于點A（-1，0）、B（3，0），與y軸分別交于點C（0，-3），其頂點為D，連接BC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）連接AC，BD，求證∠ACO=∠CBD．
（3）若點P是拋物線上的動點，點M（1，m），是否存在數m，使得以P、M、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出m的值及P點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）把點A（-1，0），B（3，0），C（0，-3 ）三點的坐標代入函數解析式y=ax²+bx+c與，利用待定系數法求解；
（2）分別計算△ACO與△DBC的三邊，根據三邊對應成比例的兩三角形相似得出△ACO∽△DBC，由相似三角形的對應角相等即可證明出∠ACO=∠CBD；
（3）分兩種情況：①以BC為對角線，那么先找出BC的中點，由點M的橫坐標為1求出點P的橫坐標，而P在拋物線上，代入拋物線的解析式中，即可求出符合條件的P點坐標及m的值；②以BC為邊，那么PM必與BC平行，根據平移的性質、平行四邊形的性質即可求出P點坐標及m的值．

解答：解：（1）把點A（-1，0），B（3，0），C（0，-3 ）三點的坐標代入函數解析式得

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=-3

，
解得

a=1 b=-2 c=-3

．
所以拋物線的解析式為y=x²-2x-3．

（2）在△ACO中，OA=1，OC=3，AC=

OA2+OC2

=

10

，
在△DBC中，∵C（0，-3），D（1，-4），B（3，0），
∴CD=

2

，BC=

OB2+OC2

=3

2

，BD=2

5

，
∴OA：CD=OC：BC=AC：BD=1：

2

，
∴△ACO∽△DBC，
∴∠ACO=∠CBD；

（3）假設存在數m，使得以P、M、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形，分兩種情況：
①以BC為對角線，則BC的中點為（1.5，-1.5），則點P的坐標為（2，-3）；
②以BC為邊，那么PM必與BC平行，則點P的坐標為（-2，5）或（4，5）．

點評：主要考查了二次函數的解析式的求法和與幾何圖形結合的綜合能力的培養．要會利用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關系．