Question

【題目】【問題引入】 已知：如圖BE、CF是△ABC的中線，BE、CF相交于G．求證： = =

證明：連結EF
∵E、F分別是AC、AB的中點
∴EF∥BC且EF= BC
∴ = = =
【思考解答】
（1）連結AG并延長AG交BC于H，點H是否為BC中點（填“是”或“不是”）
（2）①如果M、N分別是GB、GC的中點，則四邊形EFMN 是四邊形． ②當 的值為時，四邊形EFMN 是矩形．
③當 的值為時，四邊形EFMN 是菱形．
④如果AB=AC，且AB=10，BC=16，則四邊形EFMN的面積S= ．

Answer 1

【答案】
（1）是
（2）平行；1；；16
【解析】解：（1）如圖，連結EF，交AG于O，
∵E、F分別是AC、AB的中點，
∴EF是△ABC的中位線，
∴EF∥BC且EF= BC，
∴ = = = ，
∵OE∥BH，
∴ = = ，
∵OE∥CH，
∴ = = ，
∴ = ，
∴BH=CH，即點H是BC中點；
所以答案是：是；
·（2）①∵M、N分別是GB、GC的中點，
∴MN是△GBC的中位線，
∴MN∥BC且MN= BC，
由（1）可得，EF∥BC且EF= BC，
∴EF∥MN，EF=MN，
∴四邊形EFMN是平行四邊形，
所以答案是：平行；
②當四邊形EFMN是矩形時，FG=EG，
∵ = = ，
∴GB=GC，
∴∠GBC=∠GCB，
又∵H是BC的中點，
∴GH⊥BC，即AH⊥BC，
∴AH垂直平分BC，
∴AB=AC，
∴ 的值為1，
所以答案是：1；
③當四邊形EFMN是菱形時，MN=FM，
∵MN是△BCG的中位線，
∴MN= BC，
∵FM是△ABG的中位線，
∴FM= AG，
又∵G是△ABC的重心，
∴AG= AH，
∴FM= AG= AH，
∴ BC= AH，即2BC=3AH，
∴ 的值為 ，
所以答案是： ；
④當AB=AC時，由②可得四邊形EFMN是矩形，AH⊥BC，
∵AB=10，BC=16，
∴BH= BC=8，AH=6，
∵MN是△BCG的中位線，
∴MN= BC=8，
∵FM是△ABG的中位線，
∴FM= AG= AH=2，
∴矩形EFMN的面積S=FM×MN=2×8=16，
所以答案是：16．
【考點精析】掌握三角形中位線定理和平行線分線段成比例是解答本題的根本，需要知道連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線；三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半；三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例．