Question

（2012•咸寧）對于二次函數y=x²-2mx-3，有下列說法：
①它的圖象與x軸有兩個公共點；
②如果當x≤1時y隨x的增大而減小，則m=1；
③如果將它的圖象向左平移3個單位后過原點，則m=-1；
④如果當x=4時的函數值與x=2008時的函數值相等，則當x=2012時的函數值為-3．
其中正確的說法是

①④

．（把你認為正確說法的序號都填上）

Answer 1

分析：①根據函數與方程的關系解答；
②找到二次函數的對稱軸，再判斷函數的增減性；
③將m=-1代入解析式，求出和x軸的交點坐標，即可判斷；
④根據坐標的對稱性，求出m的值，得到函數解析式，將m=2012代入解析式即可．

解答：解：①∵△=4m²-4×（-3）=4m²+12＞0，∴它的圖象與x軸有兩個公共點，故本選項正確；
②∵當x≤1時y隨x的增大而減小，∴函數的對稱軸x=-

-2m

2

≥1在直線x=1的右側（包括與直線x=1重合），則-

-2m

2

≥1，即m≥1，故本選項錯誤；
③將m=-1代入解析式，得y=x²+2x-3，當y=0時，得x²+2x-3=0，即（x-1）（x+3）=0，解得，x₁=1，x₂=-3，將圖象向左平移3個單位后不過原點，故本選項錯誤；
④∵當x=4時的函數值與x=2008時的函數值相等，∴對稱軸為x=

4+2008

2

=1006，則-

-2m

2

=1006，m=1006，原函數可化為y=x²-2012x-3，當x=2012時，y=2012²-2012×2012-3=-3，故本選項正確．
故答案為①④（多填、少填或錯填均不給分）．

點評：本題考查了二次函數的性質、二次函數的圖象與幾何變換、拋物線與x軸的交點，綜合性較強，體現了二次函數的特點．