Question

（2012•鎮江）對于二次函數y=x²-3x+2和一次函數y=-2x+4，把y=t（x²-3x+2）+（1-t）（-2x+4）稱為這兩個函數的“再生二次函數”，其中t是不為零的實數，其圖象記作拋物線E．
現有點A（2，0）和拋物線E上的點B（-1，n），請完成下列任務：
【嘗試】
（1）當t=2時，拋物線E的頂點坐標是

（1，-2）

；
（2）判斷點A是否在拋物線E上；
（3）求n的值．
【發現】
通過（2）和（3）的演算可知，對于t取任何不為零的實數，拋物線E總過定點，這個定點的坐標是

A（2，0）、B（-1，6）

．
【應用1】
二次函數y=-3x²+5x+2是二次函數y=x²-3x+2和一次函數y=-2x+4的一個“再生二次函數”嗎？如果是，求出t的值；如果不是，說明理由．
【應用2】
以AB為一邊作矩形ABCD，使得其中一個頂點落在y軸上，若拋物線E經過點A、B、C、D中的三點，求出所有符合條件的t的值．

Answer 1

分析：【嘗試】
（1）將t的值代入“再生二次函數”中，通過配方可得到頂點的坐標；
（2）將點A的坐標代入拋物線E上直接進行驗證即可；
（3）已知點B在拋物線E上，將該點坐標代入拋物線E的解析式中直接求解，即可得到n的值．
【發現】
將拋物線E展開，然后將含t值的式子整合到一起，令該式子為0（此時無論t取何值都不會對函數值產生影響），即可求出這個定點的坐標．
【應用1】
將【發現】中得到的兩個定點坐標代入二次函數y=-3x²+5x+2中進行驗證即可．
【應用2】
該題的關鍵是求出C、D的坐標；首先畫出相應的圖形，過C、D作坐標軸的垂線，通過構建相似三角形或全等三角形來求解．在求得C、D的坐標后，已知拋物線E必過A、B，因此只需將C或D的坐標代入拋物線E的解析式中，即可求出符合條件的t值．

解答：解：【嘗試】
（1）將t=2代入拋物線E中，得：y=t（x²-3x+2）+（1-t）（-2x+4）=2x²-4x=2（x-1）²-2，
∴此時拋物線的頂點坐標為：（1，-2）．
（2）將x=2代入y=t（x²-3x+2）+（1-t）（-2x+4），得 y=0，
∴點A（2，0）在拋物線E上．
（3）將x=-1代入拋物線E的解析式中，得：
n=t（x²-3x+2）+（1-t）（-2x+4）=6．

【發現】
將拋物線E的解析式展開，得：
y=t（x²-3x+2）+（1-t）（-2x+4）=t（x-2）（x+1）-2x+4
∴拋物線E必過定點（2，0）、（-1，6）．

【應用1】
將x=2代入y=-3x²+5x+2，y=0，即點A在拋物線上．
將x=-1代入y=-3x²+5x+2，計算得：y=-6≠6，
即可得拋物線y=-3x²+5x+2不經過點B，
二次函數y=-3x²+5x+2不是二次函數y=x²-3x+2和一次函數y=-2x+4的一個“再生二次函數”．

【應用2】
如圖，作矩形ABC₁D₁和ABC₂D₂，過點B作BK⊥y軸于點K，過B作BM⊥x軸于點M，
易得AM=3，BM=6，BK=1，△KBC₁∽△MBA，
則：

AM

BM

=

C1K

BK

，即

3

6

=

C1K

1

，求得 C₁K=

1

2

，所以點C₁（0，

13

2

）．
易知△KBC₁≌△GAD₁，得AG=1，GD₁=

1

2

，
∴點D₁（3，

1

2

）．
易知△OAD₂∽△GAD₁，

D1G

OD2

=

AG

OA

，由AG=1，OA=2，GD₁=

1

2

，求得 OD₂=1，∴點D₂（0，-1）．
易知△TBC₂≌△OD₂A，得TC₂=AO=2，BT=OD₂=1，所以點C₂（-3，5）．
∵拋物線E總過定點A（2，0）、B（-1，6），
∴符合條件的三點可能是A、B、C或A、B、D．
當拋物線E經過A、B、C₁時，將C₁（0，

13

2

）代入y=t（x²-3x+2）+（1-t）（-2x+4），求得t₁=-

5

4

；
當拋物線E經過A、B、D₁，A、B、C₂，A、B、D₂時，可分別求得t₂=

5

8

，t₃=-

1

2

，t₄=

5

2

．
∴滿足條件的所有t的值為：-

5

4

，

5

8

，-

1

2

，

5

2

．

點評：該題通過新定義的形式考查了二次函數、矩形、相似三角形、全等三角形等綜合知識，理解新名詞的含義尤為關鍵．最后一題的綜合性較強，通過幾何知識找出C、D點的坐標是此題的難點所在．