Question

（2004•南京）如圖，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，點P從A開始沿折線A-B-C-D以4cm/s的速度移動，點Q從C開始沿CD邊以1cm/s的速度移動，如果點P、Q分別從A、C同時出發，當其中一點到達D時，另一點也隨之停止運動．設運動時間為t（s）．
（1）t為何值時，四邊形APQD為矩形；
（2）如圖，如果⊙P和⊙Q的半徑都是2cm，那么t為何值時，⊙P和⊙Q外切．

Answer 1

【答案】分析：（1）四邊形APQD為矩形，也就是AP=DQ，分別用含t的代數式表示，解即可；
（2）主要考慮有四種情況，一種是P在AB上，一種是P在BC上時．一種是P在CD上時，又分為兩種情況，一種是P在Q右側，一種是P在Q左側．并根據每一種情況，找出相等關系，解即可．
解答：解：（1）根據題意，當AP=DQ時，四邊形APQD為矩形．此時，4t=20-t，解得t=4（s）．
答：t為4時，四邊形APQD為矩形；

（2）當PQ=4時，⊙P與⊙Q外切．
①如果點P在AB上運動．只有當四邊形APQD為矩形時，PQ=4．由（1），得t=4（s）；
②如果點P在BC上運動．此時t≥5，則CQ≥5，PQ≥CQ≥5＞4，∴⊙P與⊙Q外離；
③如果點P在CD上運動，且點P在點Q的右側．可得CQ=t，CP=4t-24．當CQ-CP=4時，⊙P與⊙Q外切．此時，t-（4t-24）=4，解得；
④如果點P在CD上運動，且點P在點Q的左側．當CP-CQ=4時，⊙P與⊙Q外切．此時，4t-24-t=4，
解得，
∵點P從A開始沿折線A-B-C-D移動到D需要11s，點Q從C開始沿CD邊移動到D需要20s，而，
∴當t為4s，，時，⊙P與⊙Q外切．
點評：考慮兩圓外切時，要注意兩圓的圓心距等于兩圓的半徑之和，大于的話就說明外離，小于的話就說明相交；還有要注意求出的t的值不能超過兩點運動到D點的最小值，否則就不存在．