Question

如圖（1），直線y=-x+3與x軸、y軸分別交于點B、點C，經過B、C兩點的拋物線y=x²+bx+c與x軸的另一個交點為A，頂點為P．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）在該拋物線的對稱軸上是否存在點M，使以C、P、M為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）連接AC，在x軸上是否存在點Q，使以P、B、Q為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由；
（4）當0＜x＜3時，在拋物線上求一點E，使△CBE的面積有最大值．
（圖（2）、圖（3）供畫圖探究）

Answer 1

【答案】分析：（1）把B、C的坐標代入拋物線，得出方程組，求出方程組的解即可；
（2）求出C、P的坐標，求出PC的值，PC是腰時，有3個點，PC是底時，有1個點，根據PC的值求出即可；
（3）連接BP，根據相似得出比例式=和=，代入求出BQ即可；
（4）連接CE、BE，經過點E作x軸的垂線FE，交直線BC于點F，設點F（x，-x+3），點E（x，x²-4x+3），推出EF=-x²+3x，根據S_△CBE=S_△CEF+S_△BEF=EF•OB代入求出即可．
解答：解：（1）由已知，得B（3，0），C（0，3），
∴，
解得，
∴拋物線解析式為y=x²-4x+3；

（2）∵y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴對稱軸為x=2，頂點坐標為P（2，-1），
∴滿足條件的點M分別為M₁（2，7），M₂（2，2-1），M₃（2，），M₄（2，-2-1）；

（3）由（1），得A（1，0），
連接BP，
∵∠CBA=∠ABP=45°，
∴當=時，△ABC∽△PBQ，
∴BQ=3．
∴Q₁（0，0），
∴當=時，△ABC∽△QBP，
∴BQ=．
∴Q′（，0）．

（4）當0＜x＜3時，在此拋物線上任取一點E，連接CE、BE，經過點E作x軸的垂線FE，交直線BC于點F，
設點F（x，-x+3），點E（x，x²-4x+3），
∴EF=-x²+3x，
∴S_△CBE=S_△CEF+S_△BEF=EF•OB，
=-x²+x，
=-（x-）²+，
∵a=-＜0，
∴當x=時，S_△CBE有最大值，
∴y=x²-4x+3=-，
∴E（，-）．
點評：本題綜合考查了二次函數的綜合，二次函數的最值，相似三角形的性質和判定，等腰三角形性質，用待定系數法求二次函數的解析式，三角形的面積等知識點的應用，此題難度偏大，對學生提出較高的要求，綜合性比較強．