Question

已知：正方形ABCD中，點F為邊CD的中點，DF=3，連接AF并延長，與BC的延長線交于G點．
（1）連接BF（如圖1），在不添加任何輔助線的條件下，請找出所有相似的三角形，并選擇其中的一對加以證明；
（2）E是邊CB上一動點，連接EF，M為AD上任意一點，且MF⊥EF，連接ME（如圖2）．若△MEF與△ADF相似，求EB的長．

Answer 1

解：（1）由已知正方形ABCD和點F為邊CD的中點，得：
AD=BC，DF=CF，
∠ADF=∠BCF=90°，∠CFG=∠DFA（對頂角），∠FCG=∠FDA=90°，
∴△ADF≌△BCF≌△CFG
所以寫出所有相似的三角形為：△CFG∽△BFC∽△ADF∽△ABG，
選：△CFG和△ABG．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴CD∥AB
∴∠ABG=∠FCG，∠BAG=∠CFG
∴△CFG∽△ABG；

（2）若△ADF與△MEF相似
∵∠ADF=∠EFM=90°
（Ⅰ）∠DAF=∠MEF
延長MF，與BG交于N點
∵F為CD中點
∴DF=CF
∵∠D=∠DCN=90°，∠DFM=∠CFN
∴△MDF≌△CFN，MF=FN，
∵∠MFE=∠NFE=90°，FB=FB
∴△MFE≌△NFE，∠MEF=∠FEN=∠DAF
又∵AD∥BG
∴∠DAF=∠G
∴∠G=∠FEG=∠MEF
∴EF=FG
∴E與B重合，即EB=0，
（Ⅱ）∠EMF=∠DAF
∵∠DAF=∠G
∴∠EMF=∠G
∴M與A點重合
易證△DAF∽△CFE，
∴
代入解得CE=，
∴BE=6-=，
綜上所述，當BE=0或時，△MEF與△ADF相似．
分析：（1）首先由已知得到三個全等三角形，△ADF≌△BCF≌△CFG，然后已知圖形得△CFG∽△ABG，所以寫出所有相似的三角形為：△CFG∽△BFC∽△ADF∽△ABG．
（2）先由△ADF與△MEF相似，再延長MF，與BG交于N點推出∴△MDF≌△CFN，MF=FN，△MFE≌△NFE，最后證得△DAF∽△CFE，求出EB的長．
點評：此題考查的知識點是相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質及正方形的性質．解答此題的關鍵是運用它們的判定和性質作答．