Question

已知關于x的一元二次方程5x²－2px＋5q＝0（p≠0）有兩個相等的實數根．

求證：(1)方程x²＋px＋q＝0有兩個不相等的實數根；

(2)設方程x²＋px＋q＝0的兩個實數根是x₁，x₂，若｜x₁｜＜｜x₂｜，則＝．

 

Answer 1

答案：
解析：

∵方程5x2－2px＋5q＝0有兩個相等實根， Δ1＝（－2p）2－4×5×5q＝0， 整理，得q＝p2． (1)方程x2＋px＋q＝0的判別式 Δ2＝p2－4q＝p2－p2＝p2， ∵p≠0，∴Δ2＞0．∴方程x2＋px＋q＝0有兩個不相等的實數根． (2)證法一：解方程x2＋px＋q＝0，得 x＝（不妨設p>0）． ∵｜x1｜＜｜x2｜，∴x1＝－p，x2＝－p， ∴． 證法二：∵x1＋x2＝－p，x1x2＝q， 由(1)知q＝p2，∴x1x2＝（x1＋x2）2， 即6x12－13x1x2＋6x22＝0． ∵p≠0，∴q≠0，∴x2≠0． ∴6（）2－13（）＋6＝0． 解得 ＝或＝． ∵｜x1｜＜｜x2｜，∴｜｜＜1  ∴＝．