Question

【題目】如圖，已知二次函數y=x2+x1的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，連接AC，點P是拋物線上的一個動點，記△APC的面積為S，當S=2時，相應的點P的個數是______.

Answer 1

【答案】2

【解析】

先確定A點坐標為（-3，0），B點坐標為（1，0），C點坐標為（0，-1），討論：由于S△ABC=×4×1=2，所以在x上方，拋物線上一定有兩點滿足△APC的面積為2；當點P在x軸下方，設P點坐標為（x，y），作PD⊥x軸于D，利用S△APC=S梯形APDO-S△PDC-S△AOC得到3y+x+7=0，而y=x2+x1，所以x2+3x+4=0，此方程無實數根，可判斷在x下方，不存在拋物線上一點P滿足△APC的面積為2．

∵令x=0，y=-1；令y=0，x2+x1=0，解得x1=-3，x2=1，

∴A點坐標為（-3，0），B點坐標為（1，0），C點坐標為（0，-1），

連結OB，

∵S△ABC=×4×1=2，

∴在x上方，拋物線上一定有兩點滿足△APC的面積為2；

當點P在x軸下方，設P點坐標為（x，y），（y＜-1），如圖，作PD⊥x軸于D，

∵S△APC=S梯形APDO-S△PDC-S△AOC，

∴（3-x）（-y）-（-1-y）（-x）-×3×1=2，

∴3y+x+7=0，

而y=x2+x1，

∴x2+3x+4=0，

∵△=9-4×4＜0，

∴此方程無實數根，

即在x下方，不存在拋物線上一點P滿足△APC的面積為2．

故答案為2．