Question

如圖，將一張正方形紙片剪成四個小正方形，如圖（1）；然后再將其中的一個正方形剪成四個小正方形，此時共有7個正方形，如圖（2）；再將其中的一個正方形剪成四個小正方形，此時共有10個正方形，如圖（3）．按此操作繼續下去…

（1）根據以上操作方法，請你填寫下表：

操作次數n	1	2	3	4	5	…．
正方形的個數S	4	7	10

（2）用代數式表示正方形的個數S和操作次數n之間的關系；
（3）按此方法操作下去，正方形的個數能否為2010個？若能，請說出是經過多少次操作后得到的；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：分別數出圖1、圖2、圖3中正方形的個數，可以發現第幾個圖形中正方形的個數等于3與幾的乘積加1．如圖3中正方形的個數為10=3×3+1；按照這個規律即可求得正方形的個數S和操作次數n之間的關系；然后將2010代入，如果得數為整數，正方形的個數能為2010個；如果得數不是整數，正方形的個數不能為2010個．

解答：解：（1）圖1中正方形的個數為4=3×1+1；
圖2中正方形的個數為7=3×2+1；
圖3中正方形的個數為10=3×3+1；
…
可以發現：圖幾中正方形的個數等于3與幾的乘積加1．
可得，圖4、圖5中正方形的個數分別為13、16．

操作次數n	1	2	3	4	5	…．
正方形的個數S	4	7	10	13	16

（2）設正方形的個數為S，操作次數為n，按照（1）中的規律可得：S=3n+1．

（3）設經過n次操作后，正方形的個數為2010個，則有3n+1=2010，
n=

2009

3

，
因為

2009

3

不是整數，所以不合題意，
所以按此方法操作下去，正方形的個數不能為2010個．

點評：此題主要考查學生對圖形變化類這個知識點的理解和掌握，解答此類題目的關鍵是根據題目中給出的圖形，數值等條件，認真分析，找到規律．此類題目難度一般偏大，屬于難題．