Question

【題目】如圖，已知拋物線與x軸交于A（﹣1，0）、E（3，0）兩點，與y軸交于點B（0，3）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）設拋物線頂點為D，求四邊形AEDB的面積；

（3）△AOB與△DBE是否相似？如果相似，請給以證明；如果不相似，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）9；（3）△AOB∽△DBE.理由見解析.

【解析】

（1）易得c=3，故設拋物線解析式為y=ax2+bx+3，根據拋物線所過的三點的坐標，可得方程組，解可得a、b的值，即可得解析式；

（2）易由頂點坐標公式得頂點坐標，根據圖形間的關系可得四邊形ABDE的面積=，代入數值可得答案；

（3）根據題意，易得∠AOB=∠DBE=90°，且，即可判斷出兩三角形相似．

（1）∵拋物線與y軸交于點（0，3），

∴設拋物線解析式為y=ax2+bx+3（a≠0）

根據題意，得，

解得．

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3；

（2）如圖，設該拋物線對稱軸是DF，連接DE、BD．過點B作BG⊥DF于點G．

由頂點坐標公式得頂點坐標為D（1，4）

設對稱軸與x軸的交點為F

∴四邊形ABDE的面積=

=AOBO+（BO+DF）OF+EFDF

=×1×3+×（3+4）×1+×2×4

=9；

（3）相似，如圖，

BD=；

∴BE=

DE==

∴BD2+BE2=20，DE2=20

即：BD2+BE2=DE2，

所以△BDE是直角三角形

∴∠AOB=∠DBE=90°，且，

∴△AOB∽△DBE．