Question

如圖，⊙P與y軸相切于坐標原點O（0，0），與x軸相交于點A（5，0），過點A的直線AB與y軸的正半軸交于點B，與⊙P交于點C．
（1）已知AC=3，求點B的坐標；
（2）若AC=a，D是OB的中點．問：點O、P、C、D四點是否在同一圓上？請說明理由．如果這四點在同一圓上，記這個圓的圓心為O₁，函數的圖象經過點O₁，求k的值（用含a的代數式表示）．

Answer 1

解：（1）解法一：連接OC，
∵OA是⊙P的直徑，
∴OC⊥AB，
在Rt△AOC中，，
在Rt△AOC和Rt△ABO中，
∵∠CAO=∠OAB
∴Rt△AOC∽Rt△ABO，
∴，即，
∴，
∴

解法二：連接OC，因為OA是⊙P的直徑，
∴∠ACO=90°
在Rt△AOC中，AO=5，AC=3，
∴OC=4，
過C作CE⊥OA于點E，則：，
即：，
∴，
∴，
∴，
設經過A、C兩點的直線解析式為：y=kx+b．
把點A（5，0）、代入上式得：，
解得：，
∴，
∴點．

（2）點O、P、C、D四點在同一個圓上，理由如下：
連接CP、CD、DP，
∵OC⊥AB，D為OB上的中點，
∴，
∴∠3=∠4，
又∵OP=CP，
∴∠1=∠2，
∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，
∴PC⊥CD，又∵DO⊥OP，
∴Rt△PDO和Rt△PDC是同以PD為斜邊的直角三角形，
∴PD上的中點到點O、P、C、D四點的距離相等，
∴點O、P、C、D在以DP為直徑的同一個圓上；
由上可知，經過點O、P、C、D的圓心O₁是DP的中點，圓心，
由（1）知：Rt△AOC∽Rt△ABO，
∴，
求得：AB=，在Rt△ABO中，，
OD=，
∴，點O₁在函數的圖象上，
∴，
∴．
分析：（1）此題有兩種解法：
解法一：連接OC，根據OA是⊙P的直徑，可得OC⊥AB，利用勾股定理求得OC，再求證Rt△AOC∽Rt△ABO，利用其對應變成比例求得OB即可；
解法二：連接OC，根據OA是⊙P的直徑，可得∠ACO=90°，利用勾股定理求得OC，過C作CE⊥OA于點E，分別求得CE、0E，設經過A、C兩點的直線解析式為：y=kx+b．
把點A（5，0）、代入上式解得即可．
（2）連接CP、CD、DP，根據OC⊥AB，D為OB上的中點，可得，求證Rt△PDO和Rt△PDC是同以PD為斜邊的直角三角形，可得PD上的中點到點O、P、C、D四點的距離相等，由上可知，經過點O、P、C、D的圓心O₁是DP的中點，圓心，由（1）知：Rt△AOC∽Rt△ABO，可得，求得：AB、OD即可．
點評：此題主要考查相似三角形的判定與性質，待定系數法求反比例函數關系式，直角三角形斜邊上的中線，勾股定理，圓周角定理等知識點的理解和掌握，綜合性較強，有一定的拔高難度，屬于難題．