Question

（2012•丹東）如圖，在△ABC中，∠BAC=30°，以AB為直徑的⊙O經過點C．過點C作⊙O的切線交AB的延長線于點P．點D為圓上一點，且

BC

=

CD

，弦AD的延長線交切線PC于點E，連接BC．
（1）判斷OB和BP的數量關系，并說明理由；
（2）若⊙O的半徑為2，求AE的長．

Answer 1

分析：（1）首先連接OC，由PC切⊙O于點C，可得∠OCP=90°，又由∠BAC=30°，即可求得∠COP=60°，∠P=30°，然后根據直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，證得OB=BP；
（2）由（1）可得OB=

1

2

OP，即可求得AP的長，又由

BC

=

CD

，即可得∠CAD=∠BAC=30°，繼而求得∠E=90°，繼而在Rt△AEP中求得答案．

解答：解：（1）OB=BP．
理由：連接OC，
∵PC切⊙O于點C，
∴∠OCP=90°，
∵OA=OC，∠OAC=30°，
∴∠OAC=∠OCA=30°，
∴∠COP=60°，
∴∠P=30°，
在Rt△OCP中，OC=

1

2

OP=OB=BP；

（2）由（1）得OB=

1

2

OP，
∵⊙O的半徑是2，
∴AP=3OB=3×2=6，
∵

BC

=

CD

，
∴∠CAD=∠BAC=30°，
∴∠BAD=60°，
∵∠P=30°，
∴∠E=90°，
在Rt△AEP中，AE=

1

2

AP=

1

2

×6=3．

點評：此題考查了切線的性質、直角三角形的性質以及圓周角定理．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用，注意掌握輔助線的作法．