Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的頂點B的坐標為（4，2），D是OA的中點，OE⊥CD交BC于點E，點P從點O出發，以每秒2個單位長度的速度沿射線OE運動．

（1）求直線OE的解析式；

（2）設以C，P，D，B為頂點的凸四邊形的面積為S，點P的運動時間為t（單位：秒），求S關于t的函數解析式，并寫出自變量t的取值范圍；

（3）設點N為矩形的中心，則在點P運動過程中，是否存在點P，使以P，C，N為頂點的三角形是直角三角形？若存在，請直接寫出t的值及點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x；（2）S=；（3）存在， t=時，P（，），t=時，P（2，2），t=時，P（3，3）．

【解析】分析: （1）先求出∠COE=45°，進而求出CE=OC=2，即可得出結論；

（2）分點P在OM，在ME，OE的延長線上，利用面積的和差即可得出結論；

（3）分三種情況，利用勾股定理建立方程求出時間t，即可得出結論.

詳解:

（1）由題意得，OD=OC=2，

∵OE⊥CD，

∴OE平分∠COD，

∴∠COE=∠AOC=45°，

∴OC=CE=2，

∴E（2，2），設直線OE的解析式為y=kx，將點E坐標代入得，2=2k，

∴k=1，

∴直線OE的解析式為y=x；

（2）在Rt△COE中，根據勾股定理得，OE=2，

由題意得，以點C，P，D，B為頂點的圖形是四邊形，

∴t≠且t，

分三種情況：

設OE與CD的交點為M，

①當點P在OM上運動時，0≤t＜，

S=S矩形OABC﹣S△POC﹣S△POD﹣S△DAB=8﹣﹣﹣2=﹣2t+6；

②當點P在ME上運動時，＜t＜，以點C，P，D，B為頂點的四邊形為凹四邊形，不符合題意，

③點P在OE的延長線上運動時，t＞，

S=S△CDB+S△PCB==2t；

S=；

（3）存在，理由：PC2=（t）2+（2﹣t）2=4t2﹣4t+4，PN2=（2﹣t）2+（1﹣t）2=4t2﹣6t+5，NC2=5，

①當∠CPN=90°時，PC2+PN2=CN2，

∴4t2﹣4t+4+4t2﹣6t+5=5，

∴t=或t=；

∴P（，）或（2，2）；

②當∠PNC=90°時，CN2+PN2=PC2，

∴5+4t2﹣6t+5=4t2﹣4t+4，

∴t=，

點P（3，3），

③當∠PCN=90°時，PC2+CN2=PN2，4t2﹣4t+4+5=4t2﹣6t+5，

∴t=﹣，此時不存在點P，

即：t=時，P（，），t=時，P（2，2），t=時，P（3，3）．

點睛: 此題是一次函數綜合題，主要考查了角平分線的性質，待定系數法，幾何圖形的面積的計算方法，勾股定理，利用勾股定理建立方程是解本題的關鍵.