Question

在平面坐標系中，正方形ABCD的位置如圖所示，點A的坐標為（1，0），點D的坐標為（0，2），延長CB交x軸于點A₁，作正方形A₁B₁C₁C，延長C₁B₁交x軸于點A₂，作正方形A₂B₂C₂C₁，…按這樣的規律進行下去，第2012個正方形的面積為（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：首先設正方形的面積分別為S₁，S₂…S₂₀₁₂，由題意可求得S₁的值，易證得△BAA₁∽△B₁A₁A₂，利用相似三角形的對應邊成比例與三角函數的性質，即可求得S₂的值，繼而求得S₃的值，繼而可得規律：S_n=5×（）^2n-2，則可求得答案．
解答：解：∵點A的坐標為（1，0），點D的坐標為（0，2），
∴OA=1，OD=2，
設正方形的面積分別為S₁，S₂…S₂₀₁₂，
根據題意，得：AD∥BC∥C₁A₂∥C₂B₂，
∴∠BAA₁=∠B₁A₁A₂=∠B₂A₂x，
∵∠ABA₁=∠A₁B₁A₂=90°，
∴△BAA₁∽△B₁A₁A₂，
在直角△ADO中，根據勾股定理，得：AD==，
∴AB=AD=BC=，
∴S₁=5，
∵∠DAO+∠ADO=90°，∠DAO+∠BAA₁=90°，
∴∠ADO=∠BAA₁，
∴tan∠BAA₁===，
∴A₁B=，
∴A₁C=BC+A₁B=，
∴S₂=×5=5×（）²，
∴==，
∴A₂B₁=×=，
∴A₂C₁=B₁C₁+A₂B₁=+==×（）²，
∴S₃=×5=5×（）⁴，
由此可得：S_n=5×（）^2n-2，
∴S₂₀₁₂=5×（）^2×2012-2=5×（）⁴⁰²²．
故選D．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、正方形的性質以及三角函數等知識．此題難度較大，解題的關鍵是得到規律S_n=5×（）^2n-2．