Question

如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC為菱形，點C的坐標為（4，0），∠AOC=60°，垂直于x軸的直線l從y軸出發，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度運動，設直線l與菱形OABC的兩邊分別交于點M、N（點M在點N的上方）．
（1）求A、B兩點的坐標；
（2）設△OMN的面積為S，直線l運動時間為t秒（0≤t≤6），試求S與t的函數表達式；
（3）在題（2）的條件下，t為何值時，S的面積最大？最大面積是多少？

Answer 1

分析：（1）已知了菱形的邊長，過A作AD⊥OC于D，在直角三角形OAD中，可根據OA的長和∠AOC的度數求出OD和AD的長，即可得出A點坐標，將A的坐標向右平移4個單位即可得出B點坐標．
（2）當l過A點時，ON=OD=2，因此t=2；當l過C點時，ON=OC=4，此時t=4．因此本題可分三種情況：
①當0≤t≤2時，直線l與OA、OC兩邊相交，此時ON=t，MN=

3

t，根據三角形的面積公式即可得出S，t的函數關系式．
②當2＜t≤4時，直線l與AB、OC兩邊相交，此時三角形OMN中，NM的長與AD的長相同，而ON=t，由此就不難得出S，t的函數關系式．
③當4＜t≤6時，直線l與AB、BC兩邊相交，可設直線l與x軸交點為H，那么三角形OMN可以MN為底，OH為高來計算其面積．OH的長為t，而MN的長可通過MH-NH來求得，其中，MH可用OH和∠MOH的正切值求出，HN可用CH的長和∠BCH的正切值求出．據此可得出關于S，t的函數關系式．
（3）根據（2）中各函數的性質和各自的自變量的取值范圍可得出S的最大值及對應的t的值．

解答：解：（1）∵四邊形OABC為菱形，點C的坐標為（4，0），
∴OA=AB=BC=CO=4．
過點A作AD⊥OC于D．
∵∠AOC=60°，
∴OD=2，AD=2

3

．
∴A（2，2

3

），B（6，2

3

）．（3分）

（2）直線l從y軸出發，沿x軸正方向運動與菱形OABC的兩邊相交有三種情況：
①0≤t≤2時，直線l與OA、OC兩邊相交，（如圖①）．

∵MN⊥OC，
∴ON=t．
∴MN=ONtan60°=

3

t．
∴S=

1

2

ON•MN=

3

2

t²．（4分）
②當2＜t≤4時，直線l與AB、OC兩邊相交，（如圖②）．

S=

1

2

ON•MN=

1

2

×t×2

3

=

3

t．（6分）
③當4＜t≤6時，直線l與AB、BC兩邊相交，（如圖③）．

設直線l與x軸交于點H．
∵MN=2

3

-

3

（t-4）=6

3

-

3

t，
∴S=

1

2

OH•MN=

1

2

t（6

3

-

3

t）
=-

3

2

t²+3

3

t．

（3）由（2）知，當0≤t≤2時，S_最大=

3

2

×2²=2

3

，
當2＜t≤4時，S_最大=4

3

，
當4＜t≤6時，配方得S=-

3

2

（t-3）²+

9 3

2

，
∴當t=3時，函數S=-

3

2

t²+3

3

t的最大值是

9 3

2

．
但t=3不在4＜t≤6內，
∴在4＜t≤6內，函數S=-

3

2

t²+3

3

t的最大值不是

9 3

2

．
而當t＞3時，函數S=-

3

2

t²+3

3

t隨t的增大而減小，
∴當4＜t≤6時，S＜4

3

．
綜上所述，當t=4時，S_最大=4

3

．

點評：本題為運動性問題，考查了菱形的性質、圖形面積的求法、二次函數的應用等知識．
考查學生分類討論、數形結合的數學數形方法．