Question

已知二次函數y＝a(x²－6x＋8)(a＞0)的圖象與x軸分別交于點A、B，與y軸交于點C．點D是拋物線的頂點．

(1)如圖①，連接AC，將△OAC沿直線AC翻折，若點O的對應點O'恰好落在該拋物線的對稱軸上，求實數a的值；

(2)如圖②，在正方形EFGH中，點E、F的坐標分別是(4，4)、(4，3)，邊HG位于邊EF的右側．小林同學經過探索后發現了一個正確的命題：“若點P是邊EH或邊HG上的任意一點，則四條線段PA、PB、PC、PD不能與任何一個平行四邊形的四條邊對應相等(即這四條線段不能構成平行四邊形)．”若點P是邊EF或邊FG上的任意一點，剛才的結論是否也成立？請你積極探索，并寫出探索過程；

(3)如圖②，當點P在拋物線對稱軸上時，設點P的縱坐標t是大于3的常數，試問：是否存在一個正數a，使得四條線段PA、PB、PC、PD與一個平行四邊形的四條邊對應相等(即這四條線段能構成平行四邊形)？請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)令y＝0，由解得； 　　令x＝0，解得y＝8a． 　　∴點A、B、C的坐標分別是(2，0)、(4，0)、(0，8a)， 　　該拋物線對稱軸為直線x＝3． 　　∴OA＝2． 　　如圖①，時拋物線與x軸交點為M，則AM＝1． 　　由題意得：． 　　∴，∴∠O’AM＝60°． 　　∴，即．∴． 　　(2)若點P是邊EF或邊FG上的任意一點，結論同樣成立． 　　(Ⅰ)如圖②，設點P是邊EF上的任意一點(不與點E重合)，連接PM． 　　∵點E(4，4)、F(4，3)與點B(4，0)在一直線上，點C在y軸上， 　　∴PB＜4，PC≥4，∴PC＞PB． 　　又PD＞PM＞PB，PA＞PM＞PB， 　　∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD． 　　∴此時線段PA、PB、PC、PD不能構成平行四邊形． 　　(Ⅱ)設P是邊FG上的任意一點(不與點G重合)， 　　∵點F的坐標是(4，3)，點G的坐標是(5，3)． 　　∴FB＝3，，∴3≤PB＜． 　　∵PC≥4，∴PC＞PB． 　　(3)存在一個正數a，使得線段PA、PB、PC能構成一個平行四邊形． 　　如圖③，∵點A、B時拋物線與x軸交點，點P在拋物線對稱軸上， 　　∴PA＝PB． 　　∴當PC＝PD時，線段PA、PB、PC能構成一個平行四邊形． 　　∵點C的坐標是(0，8a)，點D的坐標是(3，－a)． 　　點P的坐標是(3，t)， 　　∴PC2＝32＋(t－8a)2，PD2＝(t＋a)2． 　　整理得7a2－2ta＋1＝0，∴Δ＝4t2－28． 　　∵t是一個常數且t＞3，∴Δ＝4t2－28＞0 　　∴方程7a2－2ta＋1＝0有兩個不相等的實數根． 　　顯然，滿足題意． 　　∵當t是一個大于3的常數，存在一個正數，使得線段PA、PB、PC能構成一個平行四邊形．