Question

已知拋物線C₁：y＝ax²－2amx＋am²＋2m＋1(a＞0，m＞1)的頂點為A，拋物線C₂的對稱軸是y軸，頂點為點B，且拋物線C₁和C₂關于P(1，3)成中心對稱．

(1)用m的代數式表示拋物線C₁的頂點坐標；

(2)求m的值和拋物線C₂的解析式；

(3)設拋物線C₂與x軸正半軸的交點是C，當△ABC為等腰三角形時，求a的值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)因為， 　　所以，拋物線的頂點A(m，2m＋1)．………………………………2分． 　　(2)如圖，因為點A、B關于點P(1，3)成中心對稱，作PEy軸于點E，作AFy軸于點F，可知．所以，AF＝2PE，即m＝2．…………………3分． 　　又P(1，3)，A(2，5)設直線AP的解析式為y＝kx＋b，把A、P的坐標代入得 　　所以k＝2，b＝1．故直線AB的解析式是 　　y＝2x＋1，得拋物線的頂點的坐標是B(0，1)．……………4分． 　　因為關于點P成中心對稱，所以，拋物線的開口大小相同，方向相反，得的解式是……………………………………………5分． 　　(3)在中，因為AB＝，所以不存在AB＝AC的情況． 　　當為等腰三角形時，只有以下兩種情況： 　　①如圖，設C(x，0)，若BC＝AB＝，則OC＝， 　　得C(，0)．又C(，0)在上，則．…………6分． 　　②如圖，若AC＝BC，設C(x，0)，作ADx軸于點D， 　　在中，； 　　在中， 　　由，解得x＝7． 　　因為C(7，0)在上，所以a＝． 　　綜上，滿足使是等腰三角形的a的值有兩個： 　　．……………………7分．