Question

在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，將△ABC繞頂點C順時針旋轉，旋轉角為（0°＜＜180°），得到△A′B′C．
小題1:如圖（1），當AB∥CB′時，設A′B′與CB相交于點D．證明：△A′CD是等邊三角形；
小題2:如圖（2），連接A′A、B′B，設△ACA′ 和△BCB′ 的面積分別為S_△ACA′ 和S_△BCB′．求證：S_△ACA′ ：S_△BCB′ =1：3；

Answer 1

小題1:見解析。
小題2:見解析。

（1）∵AB∥CB′，∴∠B=∠BC B′=30°，∴∠A′CD=60°，
又∵∠A′=60°，∴∠A′CD=∠A′=∠A′DC=60°，∴△A′CD是等邊三角形；…………4分
（2）∵AC=A′C，BC=B′C，∴ 又∵∠ACA′=∠BCB′，
∴△ACA′∽△BCB′，…………6分
∵相似比為，
∴S_△ACA′ ：S_△BCB′ =1：3；