Question

如圖，已知△ABC內接于⊙O，AB=BC=4cm，AO⊥BC于D，點P、Q分別從B、C兩點同時出發，其中點P沿BC向終點C運動，速度為1cm/s；點Q沿CA向終點A運動，速度為2cm/s，設它們運動的時間為x（s）．
（1）求證：△ABC為等邊三角形；
（2）當x為何值時，PQ⊥AC；
（3）當PQ經過圓心O時，求△PQD的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為AD經過圓心，且AD⊥BC，所以AB=AC，又因為AB=BC，可知AB=AC=BC，即△ABC為等邊三角形
（2）根據PB=x，CQ=2x，BC=4，可知PC=4-x要使PQ⊥AC，必須有CQ=PC，可得2x=（4-x），解得x=
（3）過Q作QE⊥BC于E，則CQ=2x，QE=x，CE=x，根據△ABC的邊長為4，可求得AD=2，OD=OA=AD=且PB=CE，BD=CD，所以PD=DE=2-x，當OD=QE時，PQ經過圓心，即x=，可求得S_△PQD=•PD•QE=．
解答：證明：（1）∵AD經過圓心，且AD⊥BC，
∴AB=AC
∴AB=AC又AB=BC，
∴AB=AC=BC，
即△ABC為等邊三角形；

解：（2）∵PB=x，CQ=2x又BC=4，
∴PC=4-x，
要使PQ⊥AC，必須：CQ=PC，
∴2x=（4-x）
∴x=（3）過Q作QE⊥BC于E，（如圖）
∵∠E=90°，CQ=2x，
∴QE=x，CE=x，
又∵△ABC的邊長為4
∴AD=2
又=AD=且PB=CE，BD=CD，
∴PD=DE=2-x，
∴OD=QE時，PQ經過圓心
∴=x，
∴x=時，PQ⊥AC．

（3）∴S_△PQD=•PD•QE=×（2-x）×x=×（2-）××=．
點評：本題考查函數與圓的有關性質的綜合應用，解題的關鍵是用動點的時間x和速度表示線段的長度，利用圓的有關性質作為相等關系求得x的值，從而求解．