Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的邊AD在y軸正半軸上，點A、C的坐標(biāo)分別為（0，1）、（2，4）．點P從點A出發(fā)，沿A?B?C以每秒1個單位的速度運動，到點C停止；點Q在x軸上，橫坐標(biāo)為點P的橫、縱坐標(biāo)之和．拋物線經(jīng)過A、C兩點．過點P作x軸的垂線，垂足為M，交拋物線于點R．設(shè)點P的運動時間為t（秒），△PQR的面積為S（平方單位）．
（1）求拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）分別求t=1和t=4時，點Q的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)0＜t≤5時，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出S的最大值．
參考公式：拋物線y=ax²+bx+c的頂點坐標(biāo)為，．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于拋物線過A、C兩點，因此可根據(jù)A、C的坐標(biāo)用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．
（2）當(dāng)t=1時，P在AB上，AP=1因此P點的坐標(biāo)為（1，1）；Q點坐標(biāo)為（2，0）．
當(dāng)t=4時，此時P在BC上，且BP=4-AB=2，P點的坐標(biāo)為（2，3）；Q點的坐標(biāo)為（5，0）
（3）本題要分兩種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)P在AB上時，即當(dāng)0＜t≤2時，AP=t，OQ=t+OA=t+1，MQ=t+1-t=1，將P的橫坐標(biāo)即t代入拋物線的解析式中即可求出R的縱坐標(biāo)的值即RM的長．進(jìn)而可求出PR的長，由此可根據(jù)S_△RPQ=RP•MQ=PR，求出S與t的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而可根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出S的最大值．
②當(dāng)P在BC上時，即當(dāng)2＜t≤5時，BP=t-AB=t-2，PM=t-AB+OA=t-1．而此時R與C重合，因此RM=4，因此RP=5-t，而
QM=OQ-AB=2+（t-2+1）-2=t-1．然后根據(jù)①的方法即可求出S的最大值．
解答：解：（1）由拋物線經(jīng)過點A（0，1），C（2，4），
得，
解得，
∴拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為：y=-x²+2x+1．

（2）當(dāng)t=1時，P點坐標(biāo)為（1，1），
∴Q點坐標(biāo)為（2，0）．
當(dāng)t=4時，P點坐標(biāo)為（2，3），
∴Q點坐標(biāo)為（5，0）．

（3）∵0＜t≤5，
當(dāng)0＜t≤2時，S=（-t²+2t+1-1）×1，
S=-t²+t=-（t-4）²+2，
∵t=4不在0＜t≤2中，
∴當(dāng)t=2時（如圖所示），S的最大值為1.5；
當(dāng)2＜t≤5時，S=（5-t）（2+t-2+1-2），
S=-t²+3t-=-（t-3）²+2，
因此當(dāng)t=3時，S的最大值為2．
綜上所述，S的最大值為2．
點評：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的應(yīng)用；在（3）題中要根據(jù)P點的不同位置進(jìn)行分類討論，不要漏解．