Question

有一個拋物線形的拱形隧道，隧道的最大高度為6m，跨度為8m，把它放在如圖所示的平面直角坐標系中．
（1）求這條拋物線所對應的函數關系式；
（2）若要在隧道壁上點P（如圖）安裝一盞照明燈，燈離地面高4.5m．求燈與點B的距離．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線在坐標系的位置可設解析式：y=ax²+6，把點A（-4，0）代入即可；
（2）燈離地面高4.5m，即y=4.5時，求x的值，再根據P點坐標，勾股定理求PB的值

解答：解：（1）由題意，設拋物線所對應的函數關系為y=ax²+6（a＜9），
∵點A（-4，0）或B（4，0）在拋物線上，
∴0=a•（-4）²+6，
16a+6=0，
16a=-6，
a=-

3

8

．
故拋物線的函數關系式為y=-

3

8

x²+6．

（2）過點P作PQ⊥AB于Q，連接PB，則PQ=4.5m．
將y=4.5代入y=-

3

8

x²+6中，
4.5=-

3

8

x²+6，
-

3

8

x²=4.5-6，
x=±2．
∴P（-2，4.5），Q（-2，0），
于是|PQ|=4.5，|BQ|=6，
從而|PB|=

4.52+62

=

56.25

=7.5．
所以照明燈與點B的距離為7.5m．

點評：本題考查點的坐標的求法及二次函數的實際應用．此題為數學建模題，借助二次函數解決實際問題．